수특에서 배울거리를 정리해보자 기하 35일차

아래는 오늘 문제인 수특 기하 99p Level3 5번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

구나 원이 나왔을 때 반지름 길이나 지름의 길이에는 예민하게 반응하셔야합니다.

현의 길이의 최댓값은 지름 길이이고, 

현의 길이가 지름 길이가 된다면 그 현은 지름 일 수 밖에 없거든요. 

(가) 조건에서 구 중심의 x좌표는 1, (나) 조건에서 구 중심 z좌표는 5임을 알 수 있어요. 

구의 중심 좌표를 S(1, a, 5)라 할게요. 

(다)에서 구가 xy평면에 접하므로 반지름 길이가 z좌표인 r=5임을 알 수 있습니다. 

평면 α가 구와 만나 생기는 원의 중심을 C라 할게요.

PH의 최댓값이 10일 때 두 점을 P1, H1이라 할게요.

P1H1=10인데 구의 지름의 길이가 10이므로 이때 P1H1는 지름이 됨을 알 수 있습니다. 

PH가 최소일 때 P2, H2라 할게요. P2H2=32/5입니다. 

평면 α가 x축을 포함하므로 C, S, H1, H2의 x좌표는 모두 1로 같습니다. 

C의 y좌표만 구하면 끝이네요. 

이때 x축이 점으로 보이게 옆에서 보면 yz 좌표로 볼게요. 

P1H1은 길이 10으로 지름이 됩니다. S를 지나는 것이죠. 

두 직각삼각형 OP1H1, OP2H2는 P1H1:P2H2=10:32/5 비율로 닮았습니다. 

P1의 y좌표가 a이므로 P2의 y좌표는 16a/25이죠. 

S에서 P2H2에 내린 수선의 발을 T라하면 ST=16a/25이고

반지름 길이 P2S=5, P2T=P2H2-SH1-7/5이므로

피타고라스 쓰면 a=40/3이 됩니다.

따라서 C의 y좌표는 P1, P2의 y좌표의 평균인 164/15가 되어

C의 x, y좌표의 합은 1+164/15=179/15입니다. 

봐주셔서 감사하고요

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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

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