제로콜라 [408120] · MS 2017 (수정됨) · 쪽지

2022-05-28 22:43:17
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수특에서 배울거리를 정리해보자 수2 19일차(사차함수 그리는 팁)

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아래는 오늘 문제인 수특 수2 68p Level2 4번, 70p Level3 1번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.


최고차항 계수가 양수인 사차함수가 극댓값 1개, 극솟값 2개 갖는다고 할게요.

두 극솟값 중에 누가 더 작은지 따져야할 때가 있는데, 직접 대입할 필요가 없습니다. 


따지는 방법을 결론부터 말씀드릴게요. 

x=1, 2, 3에서 극값을 갖는다면 x=2에서 극댓값을 갖고 x=1, 3에서 극솟값은 갖습니다. 1, 2, 3 간격이 같기 때문이죠.

x=1, 2, 4에서 극값을 갖는다면 x=2에서 극댓값을 갖고 x=4에서 극솟값이 x=1에서 극솟값 보다 작습니다. 1보다 4가 2에서 멀기 때문이죠. 

이는 사차함수의 도함수인 삼차함수가 점대칭이기 때문입니다. 


원리를 설명드릴게요. 

사차함수 f(x)가 x=1, 2, 3에서 극값을 갖는다면 도함수인 삼차함수 f'(x)는 x=1, 2, 3를 해로 갖습니다.

f'(x)는 점대칭인데 해 1, 2, 3 이 같은 간격이면 (2, 0)에 대해 대칭이고, x=1~x=2에서 x축과의 넓이와 x=2~x=3에서 x축과의 넓이가 같겠죠?

도함수의 넓이는 원래함수의 함숫값 차를 나타내므로 사차함수의 두 극솟값이 같아집니다. 

사차함수 f(x)가 x=1, 2, 4에서 극값을 갖는다면 도함수인 삼차함수 f'(x)는 x=1, 2, 4를 해로 갖습니다.

f'(x)는 점대칭인데 해가 1, 2, 4이면 x=1~x=2에서 x축과의 넓이보다 x=2~x=4에서 x축과의 넓이가 크겠죠?

도함수의 넓이는 원래함수의 함숫값 차를 나타내므로 사차함수는 x=4에서 극솟값이 더 작아집니다.


오늘 문제를 풀어볼게요. 

68p Level2 4번부터 풀어봅시다.

f'(x)=0의 해가 x=-1, 0 ,4이니까 x=0에서 극댓값을 갖고요. x=-1보다 x=4가 x=0까지 거리가 멀죠?

따라서 x=4에서 더 작은 극솟값을 갖습니다. 

따라서 최솟값은 작은 극솟값인 f(4)=a-128=-119이므로 a=9입니다. 

y=k와 y=f(x) 교점이 3개가 되려면 k=f(0)=a=9(극댓값) 또는 k=f(-1)=6(큰 극솟값)입니다. 

따라서 그 합은 p=15이고 a+p=9+15=24입니다. 


다음으로 70p Level3 1번 풀어봅시다.

주어진 사차함수를 h(x)라 할게요

h'(x)=0의 해가 x=-5n, 0 2n이죠. 그러면 극대를 갖는 x=0까지의 거리를 생각해봤을 때 x=2n보다 x=-5n이 멀죠?

그래서 x=-5n에서의 극솟값이 더 작아집니다. 

y=k와 y=h(x) 교점이 3개가 될때는 k=h(2n), k=h(0)이 가능합니다. 

따라서 f(n)=h(0)=15/4n^4, g(n)=h(2n)=-17/4n^4 이되어 f(n)-g(n)=8n^4입니다.

따라서 8n^3을 n=1부터 n=3까지 더하면 800이 됩니다. 



봐주셔서 감사하고요

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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

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