수특에서 배울거리를 정리해보자 수2 33일차

아래는 오늘 문제인 수특 수2 99p Level2 6번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

삼차함수의 그래프는 항상 점대칭인 도형입니다.

점대칭의 기준점을 지나는 직선이 삼차함수의 그래프와 서로 다른 3개의 점에서 만날 때,

그 3개의 점들은 같은 간격입니다. 그러니까 가운데 있는 점이 나머지 두개의 중점이 되고요.

x좌표끼리 등차수열을, y좌표끼리 등차수열을 이루죠. 

그 직선과 삼차함수가 이루는 두 개의 넓이도 같게 됩니다.

이는 역으로도 성립하는데, 직선이 삼차함수의 그래프와 만나서 생기는 두 개의 넓이가 같거나

서로 다른 3개의 교점의 x좌표가 등차수열을 이루면 가운데 있는 점에 대해서 대칭인 삼차함수임을 알 수 있습니다. 

오늘 문제를 풀어볼게요. 

역함수를 갖기 위해서는 f'(x)=3x²+2ax+a≤0이여야 하고

D/4=a(a-3)≤0, 0≤a≤3이므로 최댓값은 p=3입니다. 

a=3 대입하면 f(x)=x³+3x²+3x이 되어

역함수와의 교점을 구하기 위해 f(x)=x를 풀면 

x=-2, -1, 0으로 교점의 x좌표가 등차수열이 됩니다.

따라서 y=f(x)-x와 x축 사이의 두 넓이는 같으므로

[-1, 0]에서 넓이를 구해서 두배하면 됩니다. 

그리고 y=f(x), y=g(x) 사이의 넓이는 y=f(x), y=x 사이의 넓이의 두배가 되죠?

y=f(x), y=x 사이의 넓이는 y=f(x)-x와 x축 사이의 넓이와 같으므로

[-1, 0]에서 넓이를 구해서 네배하면 정답이 됩니다. 

아래는 관련 기출인 2021년 교육청 20번입니다.

봐주셔서 감사하고요

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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

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