수특에서 배울거리를 정리해보자 수2 33일차
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아래는 오늘 문제인 수특 수2 99p Level2 6번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
삼차함수의 그래프는 항상 점대칭인 도형입니다.
점대칭의 기준점을 지나는 직선이 삼차함수의 그래프와 서로 다른 3개의 점에서 만날 때,
그 3개의 점들은 같은 간격입니다. 그러니까 가운데 있는 점이 나머지 두개의 중점이 되고요.
x좌표끼리 등차수열을, y좌표끼리 등차수열을 이루죠.
그 직선과 삼차함수가 이루는 두 개의 넓이도 같게 됩니다.
이는 역으로도 성립하는데, 직선이 삼차함수의 그래프와 만나서 생기는 두 개의 넓이가 같거나
서로 다른 3개의 교점의 x좌표가 등차수열을 이루면 가운데 있는 점에 대해서 대칭인 삼차함수임을 알 수 있습니다. 
오늘 문제를 풀어볼게요.
역함수를 갖기 위해서는 f'(x)=3x²+2ax+a≤0이여야 하고
D/4=a(a-3)≤0, 0≤a≤3이므로 최댓값은 p=3입니다.
a=3 대입하면 f(x)=x³+3x²+3x이 되어
역함수와의 교점을 구하기 위해 f(x)=x를 풀면
x=-2, -1, 0으로 교점의 x좌표가 등차수열이 됩니다.
따라서 y=f(x)-x와 x축 사이의 두 넓이는 같으므로
[-1, 0]에서 넓이를 구해서 두배하면 됩니다.
그리고 y=f(x), y=g(x) 사이의 넓이는 y=f(x), y=x 사이의 넓이의 두배가 되죠?
y=f(x), y=x 사이의 넓이는 y=f(x)-x와 x축 사이의 넓이와 같으므로
[-1, 0]에서 넓이를 구해서 네배하면 정답이 됩니다.
아래는 관련 기출인 2021년 교육청 20번입니다.
봐주셔서 감사하고요
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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]
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봐주셔서 감사합니다
진짜 많이 도움되어요..