수특에서 배울거리를 정리해보자 수2 28일차
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아래는 오늘 문제인 수특 수2 85p Level3 5번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
삼차함수의 그래프는 항상 점대칭인 도형입니다.
대칭의 기준 점을 찾는 방법은 몇가지 있습니다.
일반적인 함수 f(x)에 대하여 모든 x에 대하여 f(a-x)+f(a+x)=2b를 만족하면 점 (a, b)에 대하여 대칭입니다.
다음으로 삼차함수의 대칭 점을 찾는 방법을 알아볼게요.
미적분 선택자라면 삼차함수 f를 두번 미분해서 0이 되는 지점 즉, 변곡점을 찾으면 됩니다.
수2 내용으로 찾아볼게요. f(x)가 극댓값과 극솟값을 갖는 경우에는 극대점 극소점의 중점에 대해 대칭입니다.
극값이 없는 경우도 있으니 다르게 생각해보면 도함수 f'(x)는 이차함수가 되니까 f'(x)가 x=p에 대해 대칭인 p를 찾을 수 있겠죠? 그러면 삼차함수 f(x) 는 (p, f(p))에 대하여 점대칭이 된답니다.
그럼 오늘 문제를 풀어볼게요.
(나) 조건에 의하여 f(-a)+f(a+2)=2f(1)이 되고
a 대신에 a-1을 대입하면 f(1-a)+f(1+a)=2f(1)이 되죠.
따라서 (1, f(1))에 대하여 대칭임을 알 수 있고 두 극점의 중점이 (1, f(1))이 됩니다.
f'(-1)=0이므로 f'(3)=0이 되겠죠.(-1과 3의 평균이 1)
(다) 조건에 의하여 극솟값, 극댓값이 0과 p임을 알 수 있습니다.
따라서 f(3)=0, f(-1)=p가 됩니다.
삼차함수의 비율관계 2:1에 의하여 f(-3)=f(3)=0임을 알 수 있습니다.
따라서 f(x)=0의 근이 x=-3, x=3(중근) 이므로
f(x)=(x-3)²(x+3)임을 알 수 있고 적분값을 계산하면 52가 됩니다.
*적분 계산 Tip: [-1, 1]에서 (x-3)²(x+3)의 정적분 값을 계산하는 것인데 x축 방향으로 -3 평행이동하여 [-4, -2]에서 x²(x+6)의 정적분을 계산하면 더 편합니다.
아래는 관련 기출인 2021학년도 사관학교 30번(나형)입니다.
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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]
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