수특에서 배울거리를 정리해보자 기하 6일차
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아래는 오늘 문제인 수특 기하 24p Level2 2번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
기본적으로 이차곡선의 대칭성을 중요하게 자주 사용됩니다.
주어진 직선은 원점을 지나므로 원점 대칭이고
타원도 원점 대칭이므로 그 교점들인 P, Q도 원점 대칭이죠.
그러면 넓이가 주어진 사각형을 두 삼각형 PFF', QFF'로 쪼개면 서로 대칭입니다.
그럼 넓이가 같겠죠? 하나의 삼각형 넓이는 4/루트3이 됩니다.
이때 P의 y좌표가 삼각형의 높이가 되고 두 초점 사이 거리가 밑변이 됩니다.
F(루트(a²-4), 0)이므로 삼각형의 밑변은 2루트(a²-4)가 되구요.
높이인 P의 y좌표를 구할 때는 연립을 해볼게요.
의외로 이차곡선에서 연립을 해서 수식으로 푸는 걸 꺼려하는 분들이 계시는데 그러면 안됩니다.
x=2y를 타원에 대입하면 y=2a/루트(a²+16)임을 알 수 있습니다. 이게 삼각형 높이죠.
삼각형 넓이로 식을 세우면 4/루트3 = 1/2 ×2루트(a²-4)×2a/루트(a²+16)이 되어
양변을 제곱한 후 정리하면 a²=8임을 알 수 있습니다.
사각형의 둘레의 길이 l은 장축의 길이의 2배이므로 l=4a입니다.
따라서 정답은 l²=16a²=128이 됩니다.
아래는 관련 기출인 2022년 교육청 3월 28번(기하)입니다.
봐주셔서 감사하고요
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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]
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