수특에서 배울거리를 정리해보자 기하 22일차
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아래는 오늘 문제인 수특 기하 66p Level2 3번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
벡터의 크기의 최대, 최소를 구해야할 때가 많습니다.
벡터를 평행이동하거나, 여러 개의 벡터의 합으로 나타내거나 하여 기하적으로 해석하는 경우가 많습니다.
그런데 이 문제처럼 계산으로 푸는게 편한 경우도 있습니다.
벡터 크기를 계산으로 풀 때는 성분을 이용하거나, 이 문제처럼 그 벡터를 스스로 내적하는 방법이 있습니다.
오늘 문제를 볼게요.
벡터 a, b와 실수 t에 대하여 |a+tb|≥1라 하였습니다.
|a+tb|²=(a+tb)·(a+tb)=a·a+2ta·b+t²b·b=t²|b|²+2(a·b)t+|a|²=t²+2(a·b)t+2≥1 입니다.
모든 실수 t에 대하여 t²+2(a·b)t+1≥0이므로
판별식 D/4= (a·b)²-1≤0입니다. 즉 -1≤(a·b)≤1 입니다.
|a-b|=k라 할게요
k²=(a-b)·(a-b)=a·a-2a·b+b·b=|a|²-2a·b+|b|²=3-2a·b이므로
1≤k²≤5가 되어 |a-b|=k의 최댓값 최솟값은 각각 루트5, 1이되어 곱은 루트5입니다.
봐주셔서 감사하고요
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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]
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