수특에서 배울거리를 정리해보자 수2 14일차
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아래는 오늘 문제인 수특 수2 42p Level3 3번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
오늘 문제 보기 전에 관련 내용 정리 간단히 할게요.
함수 f(x)가 미분가능한 함수일 때 |f(x)|가 미분가능하기 위한 조건을 생각해봅시다.
f(x)가 x축과 만나지 않는다면 |f(x)|는 f(x)와 완전히 같으므로(또는 -f(x)와 완전히 같으므로) 그대로 미분가능합니다.
f(x)가 x축과 만날 때는 |f(x)| 그래프는 x축 기준으로 접어올리는 것인데 접어올릴 때 뾰족한 점이 생기며 미분이 가능하지 않을 수 있습니다.
f(x)가 x=a에서 x축과 만난다고하면 f(a)=0이겠죠. 이때 f'(a)=0임을 두가지로 설명해볼게요.
① 직관적으로 f'(a)=m이였다면 x=a에서 접어올릴 때 x=a 좌우에서 기울기가 ±m이 되며 뾰족한 점이 되는데 뾰족하지 않으려면 f'(a)=0이였어야 합니다.
② f(x)가 다항함수인 경우에 미분계수 정의로 설명해보면, f(a)=0이면 f(x)=(x-a)g(x)라 할 수 있고
|f(x)|의 평균변화율은 |f(x)-f(a)|/(x-a) = |x-a||g(x)|/(x-a) 입니다.
x→a+일 때 순간변화율은 |x-a|=x-a이므로 |g(a)|이고
x→a- 일 때 순간변화율은 |x-a|=-(x-a)이므로 -|g(a)|입니다. 이 값이 서로 같아야하므로 g(a)=0이고
f(x)는 (x-a) 인수가 두개 이상이 되어 f'(a)=0이 되죠.
이제 오늘 문제를 볼게요.
일단 (가) 조건에서 f(x)는 기울기 2인 직선이므로 f(x)=2x+k라 할 수 있습니다.
(나) 조건에 의해 f(1)=g(1)=3 이므로 k=1이고 f(x)=2x+1이죠.
이제 h(x)=f(x)-g(x)라 하면 h(x)는 최고차항의 계수가 -1인 삼차함수고이고
(다)에서 |h(x)|가 실수 전체에서 미분가능합니다.
h(1)=0이므로 x=1은 h(x)=0의 실근입니다.
위 내용에 의해 (x-1) 인수가 두개 이상, 다르게 표현하면 h'(1)=0, 또 다르게 표현하면 1가 중근이 됩니다.
1과 다른 실근 p가 존재하여 h(p)=0이 된다면 p도 중근이여야 하는데 삼차식이라는 조건에 모순입니다.
( (x-1) 인수가 두개 이상, (x-p) 인수가 두개 이상이 되면 4차 이상이 되겠죠)
따라서 1이 아닌 실근 p는 없고 1만 실근이 되어 삼중근이 됩니다.
이때 h(x)는 최고차항의 계수가 -1인 삼차함수였으므로 h(x)=f(x)-g(x)=-(x-1)³이 됩니다.
f(x)=2x+1이므로 f(3)=7이고 h(3)=f(3)-g(3)=-8이므로 g(3)=15입니다.
따라서 f(3)+g(3)=22가 되죠.
아래는 관련 기출인 2022학년도 6월 평가원 14번입니다.
봐주셔서 감사하고요
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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]
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