수특에서 배울거리를 정리해보자 수2 14일차

아래는 오늘 문제인 수특 수2 42p Level3 3번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요. 

오늘 문제 보기 전에 관련 내용 정리 간단히 할게요. 

함수 f(x)가 미분가능한 함수일 때 |f(x)|가 미분가능하기 위한 조건을 생각해봅시다.

f(x)가 x축과 만나지 않는다면 |f(x)|는 f(x)와 완전히 같으므로(또는 -f(x)와 완전히 같으므로) 그대로 미분가능합니다.

f(x)가 x축과 만날 때는 |f(x)| 그래프는 x축 기준으로 접어올리는 것인데 접어올릴 때 뾰족한 점이 생기며 미분이 가능하지 않을 수 있습니다.

f(x)가 x=a에서 x축과 만난다고하면 f(a)=0이겠죠. 이때 f'(a)=0임을 두가지로 설명해볼게요. 

① 직관적으로 f'(a)=m이였다면 x=a에서 접어올릴 때 x=a 좌우에서 기울기가 ±m이 되며 뾰족한 점이 되는데 뾰족하지 않으려면 f'(a)=0이였어야 합니다.

② f(x)가 다항함수인 경우에 미분계수 정의로 설명해보면, f(a)=0이면 f(x)=(x-a)g(x)라 할 수 있고 

|f(x)|의 평균변화율은 |f(x)-f(a)|/(x-a) = |x-a||g(x)|/(x-a) 입니다.

x→a+일 때 순간변화율은 |x-a|=x-a이므로 |g(a)|이고

x→a- 일 때 순간변화율은 |x-a|=-(x-a)이므로 -|g(a)|입니다. 이 값이 서로 같아야하므로 g(a)=0이고

f(x)는 (x-a) 인수가 두개 이상이 되어 f'(a)=0이 되죠. 

이제 오늘 문제를 볼게요.

일단 (가) 조건에서 f(x)는 기울기 2인 직선이므로 f(x)=2x+k라 할 수 있습니다.

(나) 조건에 의해 f(1)=g(1)=3 이므로 k=1이고 f(x)=2x+1이죠.

이제 h(x)=f(x)-g(x)라 하면 h(x)는 최고차항의 계수가 -1인 삼차함수고이고 

(다)에서 |h(x)|가 실수 전체에서 미분가능합니다.

h(1)=0이므로 x=1은 h(x)=0의 실근입니다. 

위 내용에 의해 (x-1) 인수가 두개 이상, 다르게 표현하면 h'(1)=0, 또 다르게 표현하면 1가 중근이 됩니다.

1과 다른 실근 p가 존재하여 h(p)=0이 된다면 p도 중근이여야 하는데 삼차식이라는 조건에 모순입니다.

( (x-1) 인수가 두개 이상, (x-p) 인수가 두개 이상이 되면 4차 이상이 되겠죠)

따라서 1이 아닌 실근 p는 없고 1만 실근이 되어 삼중근이 됩니다.

이때 h(x)는 최고차항의 계수가 -1인 삼차함수였으므로 h(x)=f(x)-g(x)=-(x-1)³이 됩니다.

f(x)=2x+1이므로 f(3)=7이고 h(3)=f(3)-g(3)=-8이므로 g(3)=15입니다.

따라서 f(3)+g(3)=22가 되죠. 

아래는 관련 기출인 2022학년도 6월 평가원 14번입니다.

봐주셔서 감사하고요

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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

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