수특에서 배울거리를 정리해보자 기하 3일차

Question

아래는 오늘 문제인 수특 기하 14p Level3 1번, 3번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

포물선 y²=4px 위의 점 A(a, b)에서 접선을 그으면

l : by=2p(x+a)가 되어 x절편은 B(-a, 0)이 됩니다.

접점의 x좌표가 a, x절편은 -a로 부호만 반대가 되죠.

이것도 자주 사용되니까 알아두시면 좋겠구요.

A에서 준선 x=-p에 내린 수선의 발 H라 하면

초점 F에 대해서 사각형 AHBF는 마름모가 됩니다.

대각선의 교점은 y축 위에 있고 (0, b/2)가 됩니다.

이게 마름모가 된다는 걸 알고 있으면 문제 풀 때 편한 경우가 많습니다.

오늘 문제를 풀어볼게요.

첫번째 문제는 마름모를 이용한다기 보다 풀고봤더니 마름모가 되는 문제입니다.

QF=2이므로 Q에서 준선에 내린 수선의 발 H라 하면 QH=2입니다.

이때 초점 F(3/2, 0)에서 준선 x=-3/2까지 거리가 3인데 QH=2이므로

Q의 x좌표가 1/2(=3/2 -1)입니다.

포물선에 대입해주면 Q의 y좌표는 루트3이 됩니다.

그러면 QF를 빗변으로 하는 직각삼각형은 1:2:루트3으로 60도짜리 직각삼각형이 됩니다.

따라서 평행선의 엇각 성질을 생각하면 삼각형 FPR이 정삼각형이됩니다.

(FP=FR이므로 이등변인데 한 밑각이 60도이므로 정삼각형)

그 정삼각형 한 변의 길이를 a라 할게요.

PF를 빗변으로 하는 직각삼각형을 생각해보면 빗변 a, 밑변 a/2, 높이 루트3/2 a이므로

P의 좌표는(3/2 + a/2, 루트3/2 a)입니다.

이를 포물선에 대입하면 a²-4a-12=(a-6)(a+4)=0이므로 양수 a는 a=6입니다.

한변의 길이 RP=6이고, RQ=RF-FQ=6-2=4입니다.

따라서 구하는 넓이는 1/2 × 6×4×sin60 = 6루트3이 됩니다.

두번쨰 문제는 마름모 성질을 이용해볼게요.

P(3, 3)이므로 접선의 x절편 Q의 좌표를 바로 (-3, 0)임을 알 수 있습니다.

F 좌표는 F(3/4, 0)이 되고, QF=15/14입니다.

따라서 PQ를 빗변으로 하는 직각삼각형은 밑변의 길이가 6=3-(-3)이고 높이는 3이므로 tanθ=1/2입니다.

P(3, 3)이고 F(3/4, 0)이므로 PF를 빗변으로 하는 직각삼각형은 밑변 9/4, 높이 3이므로 tan2θ=4/3입니다.

따라서 둘을 더하면 11/6이 됩니다.

아래는 관련 기출인 2022년 교육청 3월 27번(기하)입니다.

봐주셔서 감사하고요

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성난바다표범 · Accepted Answer

기하도 챙겨주시고 감사합니다

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