수특에서 배울거리를 정리해보자 수2 23일차
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아래는 오늘 문제인 수특 수2 82p Level2 4번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
다항식, 다항함수가 나왔을 때는 기본적으로 차수를 알 수 있는 지 생각해보셔야합니다.
n차라 하고 등식 좌우의 차수가 같도록 하기 위한 n 값을 조사해보셔야 합니다.
그리고 최고차항의 계수도 조사해보셔야하는데 최고차항을 axⁿ이라 놓고 양쪽 계수, 차수 비교하면 되겠죠.
오늘 문제를 풀어볼게요.
미분해서 g'(x)=x²+f(x)가 됩니다.
g(x)로 나누면 f(x)/g(x)=(g'(x)-x²)/g(x)가 되죠.
g(x)를 최고차항 계수 a인 n차식 즉 g(x)=ax^n+...라 할게요.
그러면 g'(x)=nax^(n-1)+... 이므로
f(x)/g(x)=(nax^(n-1)-x^2 +...)/(ax^n + ...)가 되겠죠.
x→∞일 때 f(x)/g(x)의 극한이 -1이므로 분자 분모 위 아래의 차수가 같고 최고차항의 계수는 부호가 반대가 되어야합니다.
f(x)/g(x)=(nax^(n-1)-x^2 +...)/(ax^n + ...)
분모는 n차이고 계수는 a죠
분자에서 nax^(n-1)가 최고차항이라면 위 아래 차수가 다르죠?
따라서 분자에서 최고차항은 -x^2이고 분모의 최고차항이 x^2이 되어야 하므로 a=1, n=2입니다
따라서 g(x)=x^2+... , g'(x)=2x+k가 되죠
그런데 f(0)=g(0)=0이므로 g'(x)=2x, g(x)=x^2이 됩니다.
f(x)=g'(x)-x²=2x-x²이고요.
이제 정적분값 구해보면 3/10입니다.
아래는 관련 기출인 2013학년도 9월 평가원 18번(나형)입니다.
봐주셔서 감사하고요
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