수특에서 배울거리를 정리해보자 기하 34일차

아래는 오늘 문제인 수특 기하 99p Level3 4번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

이면각을 정의를 이용하여 구하려면 두 평면의 교선부터 찾아야합니다.

(가) 조건에서 세 평면 α, ABC 평면, xy평면이 하나의 직선에서 만나는 것을 알 수 있습니다.

그런데 점 A는 이미 ABC평면과 xy평면에 교선 위의 점이므로 하나의 점만 더 찾으면 되죠.

여기서 두 점 B(2, 2, 2), C(-3, 1, 1)의 좌표를 관찰해보면

x, y, z 좌표가 5, 1, 1씩 작아졌죠. 

BC를 연장한 직선이 xy평면과 만나는 점 D를 찾을 때

점 D를 BC의 외분점으로 생각하면 x, y, z 좌표가 5:1:1 비율로 작아지는 걸 생각할 수 있어요.

C에서 x, y, z 좌표를 5, 1, 1씩 빼보면 D(-8, 0, 0)이 xy평면 위의 점이 됩니다.

따라서 직선 AD 즉 x축이 세 평면의 교선이 되는 것을 알 수 있죠.

이제 교선에 수직인 두 직선을 찾아 그 직선이 이루는 각을 구하면 이면각이 되죠. 

ABC평면과 xy평면이 이루는 각 찾아볼게요.

B(2, 2, 2)에서 xy평면에 내린 수선의 발 H1(2, 2, 0), 

H1(2, 2, 0)에서 교선인 x축에 내린 수선의 발 H2(2, 0, 0)이라 하면

각 BH2H1이 ABC평면과 xy평면이 이루는 각이고

BH1=2, H1H2=2이므로 이루는 각은 45도가 됩니다. 

이때 평면 α와 xy평면이 이루는 각이 15도이므로

ABC 평면과 평면 α이 이루는 각은 60(=45+15)도 또는 30(=45-15)도가 됩니다.

따라서 정사영 넓이는 ABC 넓이에 cos60도 또는 cos30도를 곱하면 되죠.

C가 BD의 중점이므로 ABC 넓이는 ABD 넓이의 반이고

ABD는 밑변 길이 AD=12이고 높이 BH2=2루트2이므로 ABD의 넓이는 12루트2, 

ABC의 넓이는 6루트2입니다.

따라서 정사영 넓이는 M=6루트2×cos30도, m=6루트2×cos60도로 

곱은 18루트3입니다. 

봐주셔서 감사하고요

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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

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