수특에서 배울거리를 정리해보자 수2 18일차
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아래는 오늘 문제인 수특 수2 57p Level3 5번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
f(x)가 미분가능할 때 평균값 정리, 연속일 때 사잇값 정리를 사용할 수 있죠.
사잇값 정리는 f(x)=0의 실근의 존재성을 보일 때 자주 사용되고
평균값 정리는 f'(x)=0의 실근의 존재성을 보일 때 자주 사용됩니다.
그런데 f(x)가 다항함수인 경우에는 f'(x)가 연속이 되죠.
그러면 f'(x)=0의 실근의 존재성을 보이기 위해 f(x)에 평균값 정리를 적용해볼 수 있고 f'(x)에 사잇값 정리를 적용해볼 수도 있는 것입니다. 둘 중에 무엇이 문제 상황에 적합할 지는 그때 그때 달라지겠죠. 하나를 시도해보고 잘 안되면 나머지 하나를 빠르게 떠올려서 써보아야 합니다.
오늘 문제를 풀어 볼게요.
ㄱ. -1<a<0
구간 [-1, 1]에서 f(x)에 대해 평균값 정리 쓰면 f'(b)<0인 b이 -1과 1 사이에 존재하고
구간 [1, 2]에서 f(x)에 대해 평균값 정리 쓰면 f'(c)>0인 c이 1과 2 사이에 존재합니다.
구간 [b, c]에서 f'(x)에 대해 사잇값 정리 쓰면 f'(x)=0인 x가 b와 c 사이에 존재합니다.
그런데 f'(x)=0의 실근이 x=a 뿐이므로 a는 b와 c 사이에 존재하고 b, c 모두 -1과 2 사이에 존재하므로 a는 -1과 2 사이에 있게 됩니다. (참)
ㄴ. |g'(c)|=5를 만족하는 c가 (-1, 2)에 적어도 2개 존재한다.
g(x)=(x²+1)f(x)이므로 g(-1)=10, g(1)=0, g(2)=5가 됩니다.
g(x)에 대해 평균값 정리 써볼게요.
구간 [-1, 1]에서 g(x)에 대해 평균값 정리 쓰면 g'(b)=-5인 b가 -1과 1 사이에 존재하고
구간 [1, 2]에서 g(x)에 대해 평균값 정리 쓰면 g'(c)=5인 c가 1과 2 사이에 존재합니다.
따라서 -1과 2 사이에서 |g'(x)|=5인 x값은 적어도 2개(b와 c) 존재합니다. (참)
ㄷ. a>1이면 g(x)가 극소가 되는 x가 0과 2 사이에 존재한다.
이번에는 g'(x)에 대해 사잇값 정리를 써볼게요.
g'(x)=2xf(x)+(x²+1)f'(x)이고 이는 연속이라 사잇값 정리 쓸 수 있습니다.
g'(0)=f'(0)이고 g'(2)=4f(2)+5f'(2)=4+5f'(2)입니다. 이 값의 부호가 궁금한 것이죠.
여기서 f'(x)=0의 실근이 x=a로 유일하므로 x<a에서는 f'(x)<0, x>a에서는 f'(x)>0 임을 알 수 있습니다.
그런데 a>1이라고 했으므로 ㄱ에서 알아낸 -1<a<2를 동시에 만족하려면 1<a<2임을 알 수 있죠.
따라서 f'(0)<0, f'(2)>0이 됩니다.
그러면 g'(0)=f'(0)<0이고 g'(2)=4+5f'(2)>0이 되어 부호 변화가 됩니다.
따라서 0과 2 사이에 g'(x)=0인 x가 존재합니다. (참)
아래는 관련 기출인 2017학년도 수능 가형 20번입니다.(미적분 문제)
봐주셔서 감사하고요
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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]
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18일차 클리어!
평균값 정리 구간 별로 쪼개기
다항함수 / f'(x)근 1개 / 감소하다 증가 -> 이차함수
그러나 식을 구할 수 있어도 단순 연립 방정식이라면
굳이 이걸 다 구해야하나..? 멈칫
-> 실제로 구할 필요가 없었음.(출제 의도)