수특에서 배울거리를 정리해보자 미적 8일차

아래는 오늘 문제인 수특 미적 56p Level2 4번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

함수 f(x)가 미분가능한 함수일 때 |f(x)|가 미분가능하기 위한 조건을 생각해봅시다.

결론 먼저 : f(a)=0인데 x=a에서 |f(x)|가 미분 가능하려면 f'(a)=0

f(x)가 x축과 만나지 않는다면 |f(x)|는 f(x)와 완전히 같으므로(또는 -f(x)와 완전히 같으므로) 그대로 미분가능합니다.

f(x)가 x축과 만날 때는 |f(x)| 그래프는 x축 기준으로 접어올리는 것인데 접어올릴 때 뾰족한 점이 생기며 미분이 가능하지 않을 수 있습니다.

f(x)가 x=a에서 x축과 만난다고하면 f(a)=0이겠죠. 이때 f'(a)=0임을 두가지로 설명해볼게요. 

① 직관적으로 f'(a)=m이였다면 x=a에서 접어올릴 때 x=a 좌우에서 기울기가 ±m이 되며 뾰족한 점이 되는데 뾰족하지 않으려면 f'(a)=0이였어야 합니다.

② f(x)가 다항함수인 경우에 미분계수 정의로 설명해보면, f(a)=0이면 f(x)=(x-a)g(x)라 할 수 있고 

|f(x)|의 평균변화율은 |f(x)-f(a)|/(x-a) = |x-a||g(x)|/(x-a) 입니다.

x→a+일 때 순간변화율은 |x-a|=x-a이므로 |g(a)|이고

x→a- 일 때 순간변화율은 |x-a|=-(x-a)이므로 -|g(a)|입니다. 이 값이 서로 같아야하므로 g(a)=0이고

f(x)는 (x-a) 인수가 두개 이상이 되어 f'(a)=0이 되죠. 

③ f(x)가 그냥 미분가능한 함수일 때 미분계수 정의로 설명해볼게요.

f(a)=0인데 f'(a)≠0이라면  x=a에서 f(x)의 부호가 변하게 됩니다. (-)에서 (+)로 바뀐다고 해볼게요.

즉, x=a 근처에서 x<a이면 f(x)<0, x>a이면 f(x)>0

그러면 |f(x)|의 평균변화율은 |f(x)-f(a)|/(x-a) = |f(x)|/(x-a) 입니다.

x→a+일 때 순간변화율은 |f(x)|=f(x)이므로 f(x)/(x-a)→f'(a)이고

x→a- 일 때 순간변화율은 |f(x)|=-f(x)이므로 -f(x)/(x-a)→-f'(a)입니다. 이 값이 서로 같아야하므로 f'(a)=0입니다.

가정에 모순이 되네요. 결국 f'(a)=0이어야 함을 알 수 있습니다. 

오늘 문제를 볼게요. 

통채로 절댓값이 아니라 절댓값 |tanx-1|에 일차함수 (x-a)를 곱했지만 원리는 비슷합니다. 

tanx -1 =h(x)라 하면 f(x)=(x-a)|h(x)|라 할 수 있는데 h(π/4)=0이지만 h'(π/4)≠0이므로 

x=π/4에서 미분가능하려면 곱해져있는 (x-a)에 x=π/4를 대입했을 때 0이 되어야 함을 짐작할 수 있겠죠.

교과서적으로 미분계수 정의를 이용해서 설명해볼게요. 

g(x)=(x-a)(tanx-1)라 하면

x≥π/4일 때 f(x)=g(x)이므로 평균변화율은 (g(x)-g(π/4))/(x-π/4)=g(x)/(x-π/4),

x<π/4일 때 f(x)=-g(x)이므로 평균변화율은 (-g(x)-g(π/4))/(x-π/4)=-g(x)/(x-π/4)이 됩니다.

서로 부호만 반대인게 보이죠?

x→π/4+ 순간변화율은 g'(π/4),

x→π/4- 순간변화율은 -g'(π/4)이므로 서로 같으려면 g'(π/4)=0입니다.

따라서 결국 처음 예상처럼 a=π/4이 되구요

구하는 값은 대입하여 계산해주면 정답으로 π+2를 구할 수 있습니다. 

아래는 관련 기출인 2021학년도 수능 28번(가형)입니다.

봐주셔서 감사하고요

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