수특에서 배울거리를 정리해보자 5

지수함수와 로그함수는 점대칭이든 선대칭이든 대칭성이 생명입니다!

★★지수, 로그함수는 대칭성!!★★

밑이 같은 지수함수, 로그함수가 나오면 무조건 대칭성을 떠올려야합니다.

심지어 (ㄱㄴㄷ 문제에서) 밑이 다른 지수함수와 로그함수가 주어진 경우에도 보조선처럼 밑이 같은, 대칭성을 지닌 함수를 그려주어야 문제가 풀리는 경우가 있습니다. 

f(x)=2^(x-1)+3, g(x)=-2^(1-x)+3을 보자마자 두 함수가 (1, 3)에 대해 점대칭임을 알 수 있어야 합니다. 

일단 기본적인 지수함수 y=2^x, y=-2^(-x)가 원점에 대해 대칭인데, 이를 평행이동하였으므로 어느 점에 대해 대칭이겠구나 생각할 줄 알아야하고, 그 점이 (1, 3)임을 찾는 방법 세 가지 살펴볼게요. 

① f(a+x)+g(a-x)=2b이면 두 함수는 (a, b)에 대해 대칭입니다. 

이는 지수, 로그 함수가 아닌 일반적인 두 함수에 대해서 성립하는 성질입니다. 

f(1+x)+g(1-x)=6이므로 두 지수함수가 (1, 3)에 대해 대칭입니다. 

②  y=2^x, y=-2^(-x)가 (0, 0)에 대해 대칭인데, 각각을 x축 방향 +1, y축 방향 +3 평행이동하므로 점대칭 기준점 (0, 0)도 같이 이동해서 (1, 3)에 대해 대칭이죠. 평행이동 전에 점대칭이 쉽게 보일 때 사용할 수 있는 성질입니다.

③ 지수함수 y=2^x, y=3^x가 공통으로 지나는 점 (0, 1)을 "정점"이라고 부를게요. 지수 부분이 0이 될 때의 점을 말합니다. 그러면 f(x)=2^(x-1)+3, g(x)=-2^(1-x)+3에 대하여 f(x)의 정점은 (1, 4), g(x)의 정점은 (1, 2)입니다. f, g가 점대칭임은 이미 알고 있으므로 두 정점 (1, 4), (1, 2)도 그 점에 대해서 대칭이겠죠. 따라서 정점의 중점인 (1, 3)에 대해 대칭임을 알 수 있습니다. 지수함수일 때 사용할 수 있는 방법입니다. 

두 함수가 (1, 3)에 대해서 대칭이므로 점 A, B를 (1, 3)에 대하여 대칭한 점 A'=C, B'=D이라 하면 ABCD가 평행사변형이 됩니다.(C, D가 다른 곳에 있을 때는 평행사변형이 되지 않는데 이는 마지막에 다룰게요)

점 A, B, C, D의 x 좌표를 a, b, c, d라 하면 A, C의 중점이 O(1, 3), B, D의 중점이 O(1, 3)이므로

a+c=2, b+d=2입니다.

a+b+c+d=4이고 

(나)에 의해 a+b+d=5, a+b+c=2입니다.

연립하면 a=3, b=0, c=-1, d=2임을 알 수 있습니다.

대입하면 A(3, 7), B(0, 7/2)입니다. 

점 B, D의 중점은 대칭 기준점인 O(1, 3)이 됩니다. 

그리고 AO의 기울기는 2, BO의 기울기는 -1/2이므로 수직입니다.

그러므로 삼각형 AOB가 직각삼각형이라는 것이고, 구하는 원은 AOB의 외접원입니다.

직각삼각형의 외심을 구하는 것이므로 빗변인 AB의 중점 (3/2, 21/4)입니다.

a=3/2, b=21/4 이므로 b/a=7/2

아까 평행사변형을 정할 때 A, B를 (1, 3)에 대칭한 것을 C, D라고 했잖아요.

대칭시킨 점을 A', B'라 할 때 C, D가 이와 다른 점일 때도 평행사변형이 될 수도 있지 않을까요?

결론은 안됩니다.

평행사변형이므로 CD는 AB와 길이가 같고 기울기가 같습니다.

그런데 A', B'은 점대칭한 것이므로 A'B'은 AB와 길이가 같고 기울기가 같습니다.

그렇다면 위 사진 가운데 그림에서 (빨간색) A'B'과 (파란색) CD의 길이가 같고 기울기가 같은 C, D를 잡을 수 있을까요? C, D가 A', B'보다 오른쪽으로 가면 기울기가 작아지고, 왼쪽으로 가면 기울기가 커지므로 불가능함을 알 수 있습니다. 

그러니까 A, B가 정해졌을 때, 평행사변형이 되도록 하는 C, D는 유일한 것이고, 그 점이 A', B'인 것이죠.