수특에서 배울거리를 정리해보자 5
게시글 주소: https://orbi.kr/00054486964
지수함수와 로그함수는 점대칭이든 선대칭이든 대칭성이 생명입니다!
★★지수, 로그함수는 대칭성!!★★
밑이 같은 지수함수, 로그함수가 나오면 무조건 대칭성을 떠올려야합니다.
심지어 (ㄱㄴㄷ 문제에서) 밑이 다른 지수함수와 로그함수가 주어진 경우에도 보조선처럼 밑이 같은, 대칭성을 지닌 함수를 그려주어야 문제가 풀리는 경우가 있습니다.
f(x)=2^(x-1)+3, g(x)=-2^(1-x)+3을 보자마자 두 함수가 (1, 3)에 대해 점대칭임을 알 수 있어야 합니다.
일단 기본적인 지수함수 y=2^x, y=-2^(-x)가 원점에 대해 대칭인데, 이를 평행이동하였으므로 어느 점에 대해 대칭이겠구나 생각할 줄 알아야하고, 그 점이 (1, 3)임을 찾는 방법 세 가지 살펴볼게요.
① f(a+x)+g(a-x)=2b이면 두 함수는 (a, b)에 대해 대칭입니다.
이는 지수, 로그 함수가 아닌 일반적인 두 함수에 대해서 성립하는 성질입니다.
f(1+x)+g(1-x)=6이므로 두 지수함수가 (1, 3)에 대해 대칭입니다.
② y=2^x, y=-2^(-x)가 (0, 0)에 대해 대칭인데, 각각을 x축 방향 +1, y축 방향 +3 평행이동하므로 점대칭 기준점 (0, 0)도 같이 이동해서 (1, 3)에 대해 대칭이죠. 평행이동 전에 점대칭이 쉽게 보일 때 사용할 수 있는 성질입니다.
③ 지수함수 y=2^x, y=3^x가 공통으로 지나는 점 (0, 1)을 "정점"이라고 부를게요. 지수 부분이 0이 될 때의 점을 말합니다. 그러면 f(x)=2^(x-1)+3, g(x)=-2^(1-x)+3에 대하여 f(x)의 정점은 (1, 4), g(x)의 정점은 (1, 2)입니다. f, g가 점대칭임은 이미 알고 있으므로 두 정점 (1, 4), (1, 2)도 그 점에 대해서 대칭이겠죠. 따라서 정점의 중점인 (1, 3)에 대해 대칭임을 알 수 있습니다. 지수함수일 때 사용할 수 있는 방법입니다.
두 함수가 (1, 3)에 대해서 대칭이므로 점 A, B를 (1, 3)에 대하여 대칭한 점 A'=C, B'=D이라 하면 ABCD가 평행사변형이 됩니다.(C, D가 다른 곳에 있을 때는 평행사변형이 되지 않는데 이는 마지막에 다룰게요)
점 A, B, C, D의 x 좌표를 a, b, c, d라 하면 A, C의 중점이 O(1, 3), B, D의 중점이 O(1, 3)이므로
a+c=2, b+d=2입니다.
a+b+c+d=4이고
(나)에 의해 a+b+d=5, a+b+c=2입니다.
연립하면 a=3, b=0, c=-1, d=2임을 알 수 있습니다.
대입하면 A(3, 7), B(0, 7/2)입니다.
점 B, D의 중점은 대칭 기준점인 O(1, 3)이 됩니다.
그리고 AO의 기울기는 2, BO의 기울기는 -1/2이므로 수직입니다.
그러므로 삼각형 AOB가 직각삼각형이라는 것이고, 구하는 원은 AOB의 외접원입니다.
직각삼각형의 외심을 구하는 것이므로 빗변인 AB의 중점 (3/2, 21/4)입니다.
a=3/2, b=21/4 이므로 b/a=7/2
아까 평행사변형을 정할 때 A, B를 (1, 3)에 대칭한 것을 C, D라고 했잖아요.
대칭시킨 점을 A', B'라 할 때 C, D가 이와 다른 점일 때도 평행사변형이 될 수도 있지 않을까요?
결론은 안됩니다.
평행사변형이므로 CD는 AB와 길이가 같고 기울기가 같습니다.
그런데 A', B'은 점대칭한 것이므로 A'B'은 AB와 길이가 같고 기울기가 같습니다.
그렇다면 위 사진 가운데 그림에서 (빨간색) A'B'과 (파란색) CD의 길이가 같고 기울기가 같은 C, D를 잡을 수 있을까요? C, D가 A', B'보다 오른쪽으로 가면 기울기가 작아지고, 왼쪽으로 가면 기울기가 커지므로 불가능함을 알 수 있습니다.
그러니까 A, B가 정해졌을 때, 평행사변형이 되도록 하는 C, D는 유일한 것이고, 그 점이 A', B'인 것이죠.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
#07년생#08년생#독학생 오르비의 주인이 될 기회 32 32
-
담배펴서 편도가 ㅈ됐나 0 0
아오진짜..
-
걍 자지 말아야겟다 3 0
할게 산더미다
-
대구 눈 실화냐 2 0
자빠질뻔
-
진학사 출근시간 9시 7 0
2시간 남았다
-
일어나자마자 코피나노 3 1
인생좃같네
-
..ㅇㅇ
-
결국 5시에 못일어남 1 2
방금일어남 ㅈ됐음
-
월요일 싫어 3 2
시팔
-
한양대 발표 몇시일까 3 0
어제 16시에 일어나서 지금 슬슬 잘 타이밍인데 10시 발표할까 싶어서 버티다 보고...
-
친구가 곧4월에 전역을 해서 수능을 다시 본다는데 목표가 삼육 물치과입니다 어느정도...
-
ㅇㅂㄱ 4 0
-
쿼티햄 아직도 안자네 1 0
라고 말하는 나도 안잠
-
ㅇㅂㄱ 1 1
ㅈㄱㄴ
-
제발자고싶다 4 1
자
-
말랑말랑해 1 1
너무 졓아
-
여러분 좋은 아침 ㅎㅎ 5 1
-
그만하께여. 1 2
솔직히 한판 더하면 15칠듯
-
한창 생존게임같은거 많이 할 때 나중에 포스트-아포칼립스 세상이 왔을 때 원래...
-
혜지년들 잘들어 4 0
오빠가 캐리할게. 유미만 하지마 예쁘면 유미 해
-
오르비샤따올립니다 4 3
잠자기실패함시바 ㅠㅠ
-
취미로 공부할거임 2 1
수능이나 대학교 전공 말고 일상에서 써먹을 수 있는걸로 언어 요리 세계사 생활법률...
-
전에 알려주신 것처럼 탐구 잘본거 하나일 가능성이 높을까여 아니면 두개 반영 가능성이 높을까여
-
걍 밤새게생겼네 3 1
뭔 두시간넘게 잠을 못자냐..
-
국어강사추천 2 0
국어 강사 세밀하게 추천해 주실 고인물 있나요 목표는 3입니다.
-
서울 눈 왔네 1 2
한 5cm는 됨 ㄷ
-
범주이햄 스블 듣는데 1 0
기하할 거 같은데요. 범모따라가야되나요? 범모에 이번에도 기하 없을 거 같은데...
-
이케아 알람시계 9 3
이 자식 물건임 처음에는 삐삐삐삑 소리 나다가 나중에는 미친듯이 소리가 커져서...
-
일곱시에 일러나야함 4 1
좆됏다
-
어렵다 6 0
양파랑 감자 써는게 진짜 어렵다 그리고 재료의 조합에 따라서 맛이 바뀌는것도 골치...
-
연고대 낮과 스나 지르려면 평백 몇 이상은 나와야 함?? 14 1
보통 3~4칸 나오는 사람들 평백 몇이지
-
새벽 발로란트 여초겜이네 7 2
하렘 존나좋다
-
그냥 이새낀 트린을 잘함 0 0
.
-
어문이 여초였음? 3 0
진짜..? ㅅㅂ 이건 생각 못했는데
-
밖에 눈 많이 오나 9 1
배달을 안 받아주네..
-
낮잠자고 커피마셔서 10 0
잠을 잘 수가 없유
-
잠을 왜 못자고있냐 8 1
하.. 잠좀자고싶다
-
과외용 수열기출찾다가 5 1
251122 보고 ptsd옴 ㅅㅂ
-
나 실버3언제가냐 3 0
미치겠네
-
시드 어느정도 만들면 1 0
국장넘어갈거임 기술주 유망 물론 지금진입은 좀 힘들고 어느정도 다운되면
-
나갈때만 붙임머리나 가발하면되자나
-
낙성대 글로벌강감찬자유전공학부 0 0
vs 청와대 삼청교육학부 입결 뭐가 더 높음?
-
내가 뭘 더해줘야돼 7 0
탑에서 솔킬 네번 따줬잖아 한타때마다원딜다짤라줬잖아 개 못하는데 왜 이시간에 돌리는거야
-
자야지 4 0
옯붕이들아 잘자
-
6시칼헬스목표로달린다 3 1
우흐흐흥
-
분명히 삼성서울병원은 아시아 1위로 세계적으로도 높은위상가지는데 이악물고 한까...
-
이게 그냥 내가 다닌 곳만 그런 건지 아님 전국으로 그런지 객관적인 데이터가 없음...
-
생리대도 한 번 0 0
생리대 무상공급 ->어느브랜드? 모름. 아마 중국산 싼값의 생리대 지원할 거 같음...
-
싱글벙글 갤러리 초창기땐 0 0
순수 웃긴짤 위주였는데 요즘은 그냥 실베 발사대 그립읍니다
-
4,5등급 뜨는 애가 나한테 뉴런 들을건데 어떻게 생각하냐길래 난 그런 거 없어도...
-
블라디보스토크ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
선생님 잘 봤습니딘. 이번건 어렵네요.
혹시 다음주에도 영상 올려주시나요?
주제랑 문항은 정해두었는데 영상과 칼럼 모두 만족시킬 형태를 고민중입니다. 그치만 높은 확률로 업로드 예정입니다. 봐주셔서 감사하고, 이번 내용이 어려울 수 있지만 정말 중요한 내용입니다 도움되시길 바라요!
수특 오늘 올리신거 되게 재밌게봐서 정주행중이에요! 기울기가 수직인건 그냥 직관으로 알아야 하는 부분인가요? 좀더 필연적으로 와닿는게 될지 모르겠네요..ㅠㅠ
정주행이라니 감사합니다 앞으로도 도움되는 글들 올릴게요. 이 문제에서랑 별개로 점 세개 나왔을때 직각삼각형이나 이등변삼각형 등 특별한 삼각형인지 확인을 해보는 습관 가지는게 좋아요. 저도 그렇게 발견했구요
고견 감사합니다ㅎㅎ 좋은 컨텐츠도 연재해주셔서 감사하구요! 팔로우했어요
이 문제 상당하군요... 21번에 나올법한 느낌이에요
지수함수 평행사변형/마름모 ->점대칭
지수함수 점대칭 정점으로파악
x좌표 정보를 줬으니, 대칭성을 이용한 x좌표에 집중
세 점을 지나는 원-> 뭔가 삼각형이 특수할 것
생활도 바쁘실텐데 이렇게 영상까지 찍어주시니... 감사합니다!
글마다 댓글 남겨주셔서 감사합니다 꾸준히 봐주시는 분 계신다는게 큰 힘이 되네요