수특에서 배울거리를 정리해보자 5
게시글 주소: https://orbi.kr/00054486964
지수함수와 로그함수는 점대칭이든 선대칭이든 대칭성이 생명입니다!
★★지수, 로그함수는 대칭성!!★★
밑이 같은 지수함수, 로그함수가 나오면 무조건 대칭성을 떠올려야합니다.
심지어 (ㄱㄴㄷ 문제에서) 밑이 다른 지수함수와 로그함수가 주어진 경우에도 보조선처럼 밑이 같은, 대칭성을 지닌 함수를 그려주어야 문제가 풀리는 경우가 있습니다.
f(x)=2^(x-1)+3, g(x)=-2^(1-x)+3을 보자마자 두 함수가 (1, 3)에 대해 점대칭임을 알 수 있어야 합니다.
일단 기본적인 지수함수 y=2^x, y=-2^(-x)가 원점에 대해 대칭인데, 이를 평행이동하였으므로 어느 점에 대해 대칭이겠구나 생각할 줄 알아야하고, 그 점이 (1, 3)임을 찾는 방법 세 가지 살펴볼게요.
① f(a+x)+g(a-x)=2b이면 두 함수는 (a, b)에 대해 대칭입니다.
이는 지수, 로그 함수가 아닌 일반적인 두 함수에 대해서 성립하는 성질입니다.
f(1+x)+g(1-x)=6이므로 두 지수함수가 (1, 3)에 대해 대칭입니다.
② y=2^x, y=-2^(-x)가 (0, 0)에 대해 대칭인데, 각각을 x축 방향 +1, y축 방향 +3 평행이동하므로 점대칭 기준점 (0, 0)도 같이 이동해서 (1, 3)에 대해 대칭이죠. 평행이동 전에 점대칭이 쉽게 보일 때 사용할 수 있는 성질입니다.
③ 지수함수 y=2^x, y=3^x가 공통으로 지나는 점 (0, 1)을 "정점"이라고 부를게요. 지수 부분이 0이 될 때의 점을 말합니다. 그러면 f(x)=2^(x-1)+3, g(x)=-2^(1-x)+3에 대하여 f(x)의 정점은 (1, 4), g(x)의 정점은 (1, 2)입니다. f, g가 점대칭임은 이미 알고 있으므로 두 정점 (1, 4), (1, 2)도 그 점에 대해서 대칭이겠죠. 따라서 정점의 중점인 (1, 3)에 대해 대칭임을 알 수 있습니다. 지수함수일 때 사용할 수 있는 방법입니다.
두 함수가 (1, 3)에 대해서 대칭이므로 점 A, B를 (1, 3)에 대하여 대칭한 점 A'=C, B'=D이라 하면 ABCD가 평행사변형이 됩니다.(C, D가 다른 곳에 있을 때는 평행사변형이 되지 않는데 이는 마지막에 다룰게요)
점 A, B, C, D의 x 좌표를 a, b, c, d라 하면 A, C의 중점이 O(1, 3), B, D의 중점이 O(1, 3)이므로
a+c=2, b+d=2입니다.
a+b+c+d=4이고
(나)에 의해 a+b+d=5, a+b+c=2입니다.
연립하면 a=3, b=0, c=-1, d=2임을 알 수 있습니다.
대입하면 A(3, 7), B(0, 7/2)입니다.
점 B, D의 중점은 대칭 기준점인 O(1, 3)이 됩니다.
그리고 AO의 기울기는 2, BO의 기울기는 -1/2이므로 수직입니다.
그러므로 삼각형 AOB가 직각삼각형이라는 것이고, 구하는 원은 AOB의 외접원입니다.
직각삼각형의 외심을 구하는 것이므로 빗변인 AB의 중점 (3/2, 21/4)입니다.
a=3/2, b=21/4 이므로 b/a=7/2
아까 평행사변형을 정할 때 A, B를 (1, 3)에 대칭한 것을 C, D라고 했잖아요.
대칭시킨 점을 A', B'라 할 때 C, D가 이와 다른 점일 때도 평행사변형이 될 수도 있지 않을까요?
결론은 안됩니다.
평행사변형이므로 CD는 AB와 길이가 같고 기울기가 같습니다.
그런데 A', B'은 점대칭한 것이므로 A'B'은 AB와 길이가 같고 기울기가 같습니다.
그렇다면 위 사진 가운데 그림에서 (빨간색) A'B'과 (파란색) CD의 길이가 같고 기울기가 같은 C, D를 잡을 수 있을까요? C, D가 A', B'보다 오른쪽으로 가면 기울기가 작아지고, 왼쪽으로 가면 기울기가 커지므로 불가능함을 알 수 있습니다.
그러니까 A, B가 정해졌을 때, 평행사변형이 되도록 하는 C, D는 유일한 것이고, 그 점이 A', B'인 것이죠.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
설빙 초코브라우니 빙수랑 츄러스 엄청 먹고 싶다..
-
..
-
이건꿈일거야
-
친구를 만들고 싶다는 갈망을 친구를 만들어서 해소하는 게 아니라 포기함으로써 해소할...
-
막상 과탐 5등급 이하 노베 친구들은 생각보다 사탐런 안하는거 같은데..? 오히려...
-
큐브 첫답변받고 재질문 후 5시간,6시간 후 답변받았는데 2
이때 제가 마지막에 생각 정리해서 여쭤봤는데 질문이 별5개로 마무리되어 있더라구요....
-
으아아
-
시대인재 생2 단과 들으려고 했는데 이제 활동 안하시는건가요??ㅜㅜ
-
요즘 활랭도 안 들어가고
-
응응
-
의대 감원되도 5
국영수과 1.19면 고신의대 교과 ㄱㄴ?
-
강기본,강기분 0
일클,연필통하고 낮4입니다 목표는 중간3입니다 강민철로 갈아타려는데 강기본하고 강기분 해야할까요?
-
저 소개 좀 해주세요 너무 외롭다ㅜ
-
진짜 에바임 안그래도 못하는데 감원까지 하면 ㅋㅋ
-
뱃지달고싶은디
-
23년 10월 학평 예술지문 6문제 중에서 어휘랑 다른거 2문제 틀렸지만 배운 것도...
-
아 ㅋㅋ
-
아 물릴뻔했네 ㅅㅂ
-
과탐은 몇달만에 끝나는지 모르겠네요 케바케인가
-
덕질>>공부 2
내일의 나를 위한 1보 후퇴 하루정돈 쉬어야징
-
3월에 스카 평화롭고 좋았는데..
-
인생에서 이루고 싶은 목표 같은거요… 저는 꿈이 딱히 없어서 가끔 너무 허무하네요
-
하지만 할머니댁 가는거니 어쩔 수 없네! 다음주 전공수업 끝나자마자 바로 3호선 타고 가야해
-
사탐런 질문받음 0
제작년에 사탐런한 선배임.
-
중간고사는 대충 5
과탑수준으로 잘보진 않은거같고 그렇다고 장학금 날라갈정도로 망하지도 않았고 적당히 보통으로 본듯
-
솔텍도 했었는데... 필기노트랑 정리하면서 외울거 외워도 문제없겠죠
-
ㅈㄱㄴ 백분위96~98 인친구를 위해
-
반수생 큰일났다 5
학교생활이랑 술자리 개재밌다 이거 어카니…?? 심지어 복학할까봐 쫄렸는지 빡공해서 중간고사도 잘봄
-
산책로에서 아무리 표지판에 킥보드 타지말라고써있어도 서로 눈치껏타는거지 그걸...
-
ㅈㄱㄴ
-
기출 스킬 해설 https://orbi.kr/00067897760 22년 7월...
-
정시올인이 맞겠죠? 논술까지하면 지금 등급이 안전한편도아니라 걱정되서요
-
기출 벅벅 돌릴때 그랬었음 작년에.. 지금은 그냥 무념무상인데 수2는 싫음
-
모솔이신분있음? 7
나이적어주세요
-
개속상하네 하 3월보다 서울대식 20점이 올랐는데 붙이는 인원을 50명으로...
-
정시 올인 6논술 정시랑 같이 준비 뭐가맞음? 하나에 올인할까 걍
-
실시간 옯붕이 중간고사 끝나고 별내까지 쌩으로 걸음 17
이래도 20000 걸음이 아직 안나오네.. 현재 18,655걸음
-
무물보 3
ㄱ
-
탐구과목 범위나 이런거 살짝 조정되는 해가 있었는데 몇년도 인지 아시는분 ㅠㅠ
-
인논임
-
그게 떡상하면 절대 다시 못 내려옴 한 번 1등급 받잖아? 그 뒤로 1등급 미만...
-
에이 설마 그런사람이 2024년에 있겠어….
-
캐스트 미
-
질문해드려요 41
ㄱ
-
일본은 골든위크구나
-
수1 수2 공부하다가 중간중간 닮음같은거 살짝 헷갈릴 때 있어서 빠르게 중학...
-
님들 저 망한것 같아요 15
못푸는 문제만나면 막 심장이 두근거리고 기분이 좋아져요.....
-
4더프 표점 전국 1등 13
기숙이라 급하게 폰 받고 인증합니다. 앞으로 커뮤는 못 들어올 거 같아요 다음엔...
-
뿌둣해용
선생님 잘 봤습니딘. 이번건 어렵네요.
혹시 다음주에도 영상 올려주시나요?
주제랑 문항은 정해두었는데 영상과 칼럼 모두 만족시킬 형태를 고민중입니다. 그치만 높은 확률로 업로드 예정입니다. 봐주셔서 감사하고, 이번 내용이 어려울 수 있지만 정말 중요한 내용입니다 도움되시길 바라요!
수특 오늘 올리신거 되게 재밌게봐서 정주행중이에요! 기울기가 수직인건 그냥 직관으로 알아야 하는 부분인가요? 좀더 필연적으로 와닿는게 될지 모르겠네요..ㅠㅠ
정주행이라니 감사합니다 앞으로도 도움되는 글들 올릴게요. 이 문제에서랑 별개로 점 세개 나왔을때 직각삼각형이나 이등변삼각형 등 특별한 삼각형인지 확인을 해보는 습관 가지는게 좋아요. 저도 그렇게 발견했구요
고견 감사합니다ㅎㅎ 좋은 컨텐츠도 연재해주셔서 감사하구요! 팔로우했어요
이 문제 상당하군요... 21번에 나올법한 느낌이에요
지수함수 평행사변형/마름모 ->점대칭
지수함수 점대칭 정점으로파악
x좌표 정보를 줬으니, 대칭성을 이용한 x좌표에 집중
세 점을 지나는 원-> 뭔가 삼각형이 특수할 것
생활도 바쁘실텐데 이렇게 영상까지 찍어주시니... 감사합니다!
글마다 댓글 남겨주셔서 감사합니다 꾸준히 봐주시는 분 계신다는게 큰 힘이 되네요