수특에서 배울거리를 정리해보자 5
게시글 주소: https://orbi.kr/00054486964
지수함수와 로그함수는 점대칭이든 선대칭이든 대칭성이 생명입니다!
★★지수, 로그함수는 대칭성!!★★
밑이 같은 지수함수, 로그함수가 나오면 무조건 대칭성을 떠올려야합니다.
심지어 (ㄱㄴㄷ 문제에서) 밑이 다른 지수함수와 로그함수가 주어진 경우에도 보조선처럼 밑이 같은, 대칭성을 지닌 함수를 그려주어야 문제가 풀리는 경우가 있습니다.
f(x)=2^(x-1)+3, g(x)=-2^(1-x)+3을 보자마자 두 함수가 (1, 3)에 대해 점대칭임을 알 수 있어야 합니다.
일단 기본적인 지수함수 y=2^x, y=-2^(-x)가 원점에 대해 대칭인데, 이를 평행이동하였으므로 어느 점에 대해 대칭이겠구나 생각할 줄 알아야하고, 그 점이 (1, 3)임을 찾는 방법 세 가지 살펴볼게요.
① f(a+x)+g(a-x)=2b이면 두 함수는 (a, b)에 대해 대칭입니다.
이는 지수, 로그 함수가 아닌 일반적인 두 함수에 대해서 성립하는 성질입니다.
f(1+x)+g(1-x)=6이므로 두 지수함수가 (1, 3)에 대해 대칭입니다.
② y=2^x, y=-2^(-x)가 (0, 0)에 대해 대칭인데, 각각을 x축 방향 +1, y축 방향 +3 평행이동하므로 점대칭 기준점 (0, 0)도 같이 이동해서 (1, 3)에 대해 대칭이죠. 평행이동 전에 점대칭이 쉽게 보일 때 사용할 수 있는 성질입니다.
③ 지수함수 y=2^x, y=3^x가 공통으로 지나는 점 (0, 1)을 "정점"이라고 부를게요. 지수 부분이 0이 될 때의 점을 말합니다. 그러면 f(x)=2^(x-1)+3, g(x)=-2^(1-x)+3에 대하여 f(x)의 정점은 (1, 4), g(x)의 정점은 (1, 2)입니다. f, g가 점대칭임은 이미 알고 있으므로 두 정점 (1, 4), (1, 2)도 그 점에 대해서 대칭이겠죠. 따라서 정점의 중점인 (1, 3)에 대해 대칭임을 알 수 있습니다. 지수함수일 때 사용할 수 있는 방법입니다.
두 함수가 (1, 3)에 대해서 대칭이므로 점 A, B를 (1, 3)에 대하여 대칭한 점 A'=C, B'=D이라 하면 ABCD가 평행사변형이 됩니다.(C, D가 다른 곳에 있을 때는 평행사변형이 되지 않는데 이는 마지막에 다룰게요)
점 A, B, C, D의 x 좌표를 a, b, c, d라 하면 A, C의 중점이 O(1, 3), B, D의 중점이 O(1, 3)이므로
a+c=2, b+d=2입니다.
a+b+c+d=4이고
(나)에 의해 a+b+d=5, a+b+c=2입니다.
연립하면 a=3, b=0, c=-1, d=2임을 알 수 있습니다.
대입하면 A(3, 7), B(0, 7/2)입니다.
점 B, D의 중점은 대칭 기준점인 O(1, 3)이 됩니다.
그리고 AO의 기울기는 2, BO의 기울기는 -1/2이므로 수직입니다.
그러므로 삼각형 AOB가 직각삼각형이라는 것이고, 구하는 원은 AOB의 외접원입니다.
직각삼각형의 외심을 구하는 것이므로 빗변인 AB의 중점 (3/2, 21/4)입니다.
a=3/2, b=21/4 이므로 b/a=7/2
아까 평행사변형을 정할 때 A, B를 (1, 3)에 대칭한 것을 C, D라고 했잖아요.
대칭시킨 점을 A', B'라 할 때 C, D가 이와 다른 점일 때도 평행사변형이 될 수도 있지 않을까요?
결론은 안됩니다.
평행사변형이므로 CD는 AB와 길이가 같고 기울기가 같습니다.
그런데 A', B'은 점대칭한 것이므로 A'B'은 AB와 길이가 같고 기울기가 같습니다.
그렇다면 위 사진 가운데 그림에서 (빨간색) A'B'과 (파란색) CD의 길이가 같고 기울기가 같은 C, D를 잡을 수 있을까요? C, D가 A', B'보다 오른쪽으로 가면 기울기가 작아지고, 왼쪽으로 가면 기울기가 커지므로 불가능함을 알 수 있습니다.
그러니까 A, B가 정해졌을 때, 평행사변형이 되도록 하는 C, D는 유일한 것이고, 그 점이 A', B'인 것이죠.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
아아
-
닉넴 추천받아요 2 0
1 박종팔 2 절대악 3케타민
-
미적분 질문이요 제발료ㅜ 0 0
시발점으로 진도 나가고 있는데 문제가 너무 어려워서 예제도 잘안풀려요 워크북도...
-
저속노화 교수 ㅈㄴ부럽다 3 1
ㅈㄴ좋다
-
설연휴때 일본에 가고싶구나 0 0
동북지방에가서 눈구경을하고싶구나
-
러시안잭 0 0
맛있겠구만
-
아무나 5 0
댓글좀달아보셈
-
[속보] 출근 시간대 술 취해 야차룰 싸움 벌인 10대들 체포... 현직 해병 포함 3 0
https://www.kyeonggi.com/article/20260106580021 추구미임
-
근데 오르비언들 열등감 터진거 3 1
좀 보기 싫음 부러우면 부럽다하지 왜 조리돌림함
-
시원한 냉면에 살코기 고기?랑 5 0
후루룩 먹고싶다 와인과 곁들여서,
-
이새끼<<<< 5 10
의대 친구 오르비계정 빌려가지고 말빨도 뒤지게 안되면서 사람들한테 시비걸고 다니는...
-
나는 과연 학문적 즐거움을 즐기는가 대인관계적 즐거움을 즐기는가 8 0
그거슨 참 어려운 일이다 난 나 스스로 계획적이고 발전해나가는 하루가 좋다...
-
퀀트 0 0
퀀텀 컴퓨터
-
오늘의 교훈 3 3
무한N수를 박다보면 암소박이가 될 위험이 있다
-
운전면허 필기 4 0
어플로 대비하라고들 하시는데 애초에 아무것도 모르는 노베상태에서 어플테스트를 칠수가...
-
나만 미노타우로스 생각했나 0 2
참고로 난 수소임 움머어
-
소한테 좀 인기있는 얼굴이신가 0 1
뭐 어느 동물이든 통하는 종이 있어서 다행인듯
-
<<< 눈치싸움 개못함 2 1
내가 쫄튀하면 다른 사람도 쫄튀한다고 역지사지 한번만 했으면
-
현수 때문에 퀀트 폭나겠네 2 0
커뮤에 언급 많아져서
-
근데 생각해보면 암소랑 하는건 0 3
쉽지않음 몰래 갔다가 뒷발로 얻어 맞잖음 좀 대단하신듯
-
케이엪씨가야지 0 0
가야지 암소 각오해라
-
ㅈㄱㄴ
-
요즘도 졸업생 축사 하나요? 5 1
저 진짜 이런 거 해보고 싶은데 보통 누가 함? 제가 내신 1등이긴 한데...
-
현생이 바쁜 관계로 2 1
바쁘네요흠
-
동물 성학대, 성범죄입니다 [박미랑의 범죄 속으로] 5 3
편집자주범죄는 왜 발생하는가. 그는 왜 범죄자가 되었을까. 범죄를 막으려면 무엇을...
-
확통 인강 정병호 프메 vs 김범준 스블 vs 정상모 리본 0 0
확통 스블 들어보신 분들 후기도 부탁드립니다 업그레이드 된 정공법 프메냐, 밀림의...
-
전남대 의예 지역인재 컷 0 0
환상점수로 955점보다 낮을까요...? 955점보다 높다면 한 어느정도 될까요...?
-
퀀트는 나도 하고싶다 3 0
근데 시장에 뛰어들 자신은 없음
-
경쟁률 4.5->11.8 펑 0 0
작년 경쟁률 4.5, 4시에 7점대에서 11인데 거의 다 스나이핑이겠죠? 소수과지만...
-
암소 하니까 1 2
젖소비키니 마렵네
-
커뮤하다보니까 눈이 너무높아져버린듯
-
코엑스에 메가스터디 비닐백 들고 있는 사람 많이 보이던데 1 0
오늘 메가든 러셀이든 뭐 있었음?
-
암소 14 1
소리벗알러뷰다거짓말
-
(서울대 합격 / 합격자인증)(스누라이프) 서울대 26학번을 찾습니다. 0 0
안녕하세요! 서울대 커뮤니티 스누라이프 새내기맞이단입니다!서울대 26학번 합격자...
-
다른사람점공 어떻게 보나요? 0 0
이거 실제지원인증 했는데 다른사람꺼 점공은 어디서 보나요?? 오르비 표본 설자전 설...
-
나중에 공도에서 운전하다보면 저절로 익힐 수 있는 내용임? 시험치고나서 다 까먹어도 상관없음?
-
롤쌤들 잇나 0 0
날 위로해줄
-
지원 대학 인증되먼 볼 곳 0 0
설농경제 설언정
-
그냥 공부를 하면안될듯 7 0
이게 사람인가
-
메타머임 4 3
입시커뮤에서 암소 얘기가 왜나와 ?
-
흠 2 1
주식 팔까?
-
뭐야이미올리셨었네 2 0
글쓰느라못봄 ㅎㅎ 공동수상인걸로하죠 굿
-
. 6 0
-
사탐런 얼마나 공부 비중 두시고+어떻게 공부하시나요 다들 0 0
사탐 공부 어느정도 해야되는지, 어떻게 해야 되는지 모르겠어요.. 사문 세지할 생각입니다
-
Cc받으면 401.05나오는데 안받겠지?
-
운전면허필기 <-이거 법전들고 공부하는사람 있음? 3 0
걍 무지성으로 눈에 익히려하니까 재미도 없고 면허따고나서 좀 지나면 다...
-
붕어빵 맛잇어 2 0
-
28은 절대 안 볼 거임 1 0
통사는 죽어도 못 한다
-
이렇게 올해 처음으로 2 2
연말에 언급 될만한 메타 하나가 돌았네
-
미·유럽 반이민·배타주의 여파 공공장소 폭력·비하발언 봇물 항공기서 백인, 흑인여성...
선생님 잘 봤습니딘. 이번건 어렵네요.
혹시 다음주에도 영상 올려주시나요?
주제랑 문항은 정해두었는데 영상과 칼럼 모두 만족시킬 형태를 고민중입니다. 그치만 높은 확률로 업로드 예정입니다. 봐주셔서 감사하고, 이번 내용이 어려울 수 있지만 정말 중요한 내용입니다 도움되시길 바라요!
수특 오늘 올리신거 되게 재밌게봐서 정주행중이에요! 기울기가 수직인건 그냥 직관으로 알아야 하는 부분인가요? 좀더 필연적으로 와닿는게 될지 모르겠네요..ㅠㅠ
정주행이라니 감사합니다 앞으로도 도움되는 글들 올릴게요. 이 문제에서랑 별개로 점 세개 나왔을때 직각삼각형이나 이등변삼각형 등 특별한 삼각형인지 확인을 해보는 습관 가지는게 좋아요. 저도 그렇게 발견했구요
고견 감사합니다ㅎㅎ 좋은 컨텐츠도 연재해주셔서 감사하구요! 팔로우했어요
이 문제 상당하군요... 21번에 나올법한 느낌이에요
지수함수 평행사변형/마름모 ->점대칭
지수함수 점대칭 정점으로파악
x좌표 정보를 줬으니, 대칭성을 이용한 x좌표에 집중
세 점을 지나는 원-> 뭔가 삼각형이 특수할 것
생활도 바쁘실텐데 이렇게 영상까지 찍어주시니... 감사합니다!
글마다 댓글 남겨주셔서 감사합니다 꾸준히 봐주시는 분 계신다는게 큰 힘이 되네요