수특에서 배울거리를 정리해보자 미적 17일차

아래는 오늘 문제인 수특 미적 74p Level3 3번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

문제를 풀다보면 그래프 개형에 따라 경우를 나누고

조건을 만족하는 그래프 개형을 골라내야할 때가 아주 많죠.

그 때 케이스를 나누는 기준 중 하나가 극값입니다. 

극값이 여러개 나왔을 때 누가 더 큰지에 따라 조건을 만족하기도 않기도 하므로

극값의 대소를 비교하여 케이스 분류를 해야합니다. 

문제를 볼게요. 

x<0, x>0의 각 구간에서 f의 도함수는

f'(x)=2x+a, f'(x)=(1-x)e^-x +x입니다.

x=0에서 미분가능하므로 f'(0)이 존재해야합니다. 

원래는 미분계수 정의를 이용해야하지만 각 도함수에 x=0을 대입해주면

a=b+1임을 알 수 있죠.

g(t)는 점 (t, f(t))에서 직선 y-x=0 사이 거리이므로

g(t)= |f(t)-t|/루트2입니다.

h(x)=f(x)-x라 하면 g(x)=|h(x)|/루트2죠. 

h'(x)는 x<0에서 2x+a-1=2x+b, x>0에서 (1-x)e^-x 입니다. 

h'(x)의 부호를 살펴보면 

x=-b/2 좌우에서 (-)에서 (+)로 변하고

x=1 좌우에서 (+)에서 (-)로 변합니다. 

h(x)가 x=-b/2에서 극소, x=1에서 극대를 갖게 되는 것이죠. 

ㄱ. g(1)=h(1)/루트2=b/{e루트2}

인데 a=2이면 b=1이므로 ㄱ은 옳습니다.

ㄴ. g(x)는 |h(x)|/루트2이므로 h(x)의 x절편이었던 x=-b, x=0에서 극소를 갖습니다. 

t=-2에서 극소이므로 b=2이고 a=3입니다. 따라서 a+b=5이므로 옳습니다.

ㄷ. g(x)는 |h(x)|/루트2이므로 h(x)가 극소, 극대를 갖던 x=-b/2, x=1에서 g(x)가 극대를 갖습니다.

ㄷ에서는 어떤 극댓값을 갖는 x값이 3개라는 이야기죠. 

x=-b/2, x=1에서 g(x)의 극댓값이 서로 다른 경우 그래프를 그려보면 ㄷ에서 말하는 집합의 원소 개수는 2개 또는 4개가 됩니다.

x=-b/2, x=1에서 g(x)의 극댓값이 서로 같아야 하는 것이죠.

따라서 h(-b/2)=-h(1)입니다. 

즉, b/(e루트2) = b²/(4루트2)이고 b= 4/e입니다. 따라서 a=1+4/e이고 a+b = 1 +8/e입니다.

따라서 ㄷ은 옳지 않습니다. 

봐주셔서 감사하고요

도움이 되셨다면 좋아요, 팔로우, 댓글 남겨주시면 큰 힘이 됩니다. 

[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

1일차 https://orbi.kr/00043586953

2일차 https://orbi.kr/00054486743

3일차 https://orbi.kr/00054486856

4일차 https://orbi.kr/00054486909

5일차 https://orbi.kr/00054486964

6일차 https://orbi.kr/00054755049

7일차 https://orbi.kr/00055606627

8일차 https://orbi.kr/00055606695

9일차 https://orbi.kr/00055934554

10일차 https://orbi.kr/00056038091

11일차 https://orbi.kr/00056055480

12일차 https://orbi.kr/00056076859

13일차 https://orbi.kr/00056087931

14일차 https://orbi.kr/00056209161

15일차 https://orbi.kr/00056218374

16일차 https://orbi.kr/00056245358

17일차 https://orbi.kr/00056255150

18일차 https://orbi.kr/00056285424

19일차 https://orbi.kr/00056297739

20일차 https://orbi.kr/00056317870

21일차 https://orbi.kr/00056329144

22일차 https://orbi.kr/00056353975

23일차 https://orbi.kr/00056365299

24일차 https://orbi.kr/00056383119

25일차 https://orbi.kr/00056395643

26일차 https://orbi.kr/00056415172

27일차 https://orbi.kr/00056425159

28일차 https://orbi.kr/00056446414

29일차 https://orbi.kr/00056485619

30일차 https://orbi.kr/00056500731

31일차 https://orbi.kr/00056515335

[수특 수2에서 배울거리를 정리해보자]

1일차 https://orbi.kr/00056604978

2일차 https://orbi.kr/00056619232

3일차 https://orbi.kr/00056634162

4일차 https://orbi.kr/00056647537

5일차 https://orbi.kr/00056661437

6일차 https://orbi.kr/00056683179

7일차 https://orbi.kr/00056698712

8일차 https://orbi.kr/00056711910