수특에서 배울거리를 정리해보자 기하 11일차

아래는 오늘 문제인 수특 기하 38p Level3 1번, 2번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

쌍곡선에서 원 또는 직각삼각형이 나올 때가 많습니다. 

문제에서 원을 안 그려줬을 때도 말이죠. 

OF=OF'는 당연한데 쌍곡선 위의 점 P에 대해 OF=OP인 경우가 있어요.

그러면 OF=OF'=OP니까 O에서 세 점까지 거리가 같죠.

그러면 O가 중심인 원 위에 F, F', P가 있겠죠.

O, F, F'이 한 직선 위에 있으니 FF'가 지름이 되고 각 FPF'는 지름에 대한 원주각으로 직각이 됩니다.

그러면 PF', PF의 길이를 x, y라 하면

쌍곡선의 정의에 의해 x-y=2a(주축 길이)라는 식 하나,

피타고라스에 의해 x²+y²=4c²(초점사이 거리 제곱)라는 식 하나가 나오죠.

그러면 뭐 연립하든 뭐가 됐든 문제를 푸는 도구가 하나 생기는 것이죠. 

첫번째 문제입니다. 

쌍곡선 정의에 PF'-PF=2이므로 PF'=y+2, PF=y라 하고,

PF'F가 직각삼각형이므로 피타고라스 돌리면 y²+(y+2)²=100이므로 y=6입니다.

각 PF'F에 대한 코사인 값은 4/5입니다.

QF'=x, QF=x+2라 하면 QF'F에서 각 PF'F에 대해 코사인을 돌리면 5x=24임을 알 수 있습니다.

따라서 QF'F의 둘레의 길이는 2x+12=108/5가 됩니다. 

두번째 문제입니다. 

기본적으로 삼각형의 세 변 길이를 모두 알 때는 직각 삼각형인지, 특수각인지 확인을 해보셔야합니다. 

F'F=2루트3, AF'=2-루트2, AF=2+루트2인데 코사인을 돌려보거나 피타고라스가 성립함을 체크하여 직각삼각형임을 확인할 수 있습니다. 

쌍곡선 정의에 의해 BF'=k, BF=k+2루트2라 할 수 있습니다. 

직각삼각형 ABF에서 피타고라스를 돌리면 k=2/(3루트2 -2)가 됩니다. 

(삼각형 BF'F의 넓이)=(삼각형 ABF 넓이)-(삼각형 AF'F 넓이) = 1/2×AF×AB-1/2×AF×AF'=1/2×AF×F'B=(2+루트2)k/2가 됩니다.

k값을 대입해주면 넓이는 (5+4루트2)/7가 됩니다. 

봐주셔서 감사하고요

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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

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