수특에서 배울거리를 정리해보자 수2 35일차
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아래는 오늘 문제인 수특 수2 100p Level3 2번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
삼차함수의 그래프는 항상 점대칭인 도형입니다.
점대칭의 기준점을 지나는 직선이 삼차함수의 그래프와 서로 다른 3개의 점에서 만날 때,
그 3개의 점들은 같은 간격입니다. 그러니까 가운데 있는 점이 나머지 두개의 중점이 되고요.
x좌표끼리 등차수열을, y좌표끼리 등차수열을 이루죠.
그 직선과 삼차함수가 이루는 두 개의 넓이도 같게 됩니다.
이는 역으로도 성립하는데, 직선이 삼차함수의 그래프와 만나서 생기는 두 개의 넓이가 같거나
서로 다른 3개의 교점의 x좌표가 등차수열을 이루면 가운데 있는 점에 대해서 대칭인 삼차함수임을 알 수 있습니다.
오늘 문제를 풀어볼게요.
f(x), g(x)가 모두 최고차항의 계수가 1인 사차함수이므로
h(x)=f(x)-g(x)는 삼차(또는 더 낮은 차수)함수가 됩니다.
그런데 (가)에 의해 h(x)=0의 해가 -2, 0, 2가 있으므로 h(x)는 삼차함수이고 x좌표가 같은 간격이니
위에서 말한 내용에 의하여 h(x)는 (0, h(0))에 대하여 점대칭임을 알 수 있습니다.
따라서 [0, 2]에서 h(x)를 정적분하여 넓이를 구한 후(필요하다면 부호 조정을 한 후) 2배 하면 됩니다.
g(x)는 (나) 조건에 의하여 y축 대칭, 우함수이므로 (다) 조건의
0부터 -1까지 g(x)를 적분하면 34/15가 된다는 것을
[0, 1]에서 g(x)의 정적분이 -34/15로 바꾸어 생각 할 수 있습니다.
h(x)=f(x)-g(x)=ax(x+2)(x-2)라 할 수 있고
[0, 1]에서 h(x)의 정적분은 [0, 1]에서 f(x)의 정적분인 37/30에서 g(x)의 정적분인 -34/15를 빼서
[0, 1]에서 h(x)의 정적분은 7/2가 됩니다.
[0, 1]에서 ax(x+2)(x-2)를 직접 적분하여 7/2가 된다고 하면 a=-2임을 알 수 있고요.
이제 우리가 구하는 것은 [0, 2]에서 h(x)=-2x(x+2)(x-2)를 정적분하여 넓이를 구한 후 2배하여 16이 됩니다.
아래는 관련 기출인 2022학년도 9월 평가원 모의고사 14번입니다.
봐주셔서 감사하고요
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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]
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