수특에서 배울거리를 정리해보자 29일차
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아래는 오늘 문제인 수특 수1 82p Level3 2번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요
먼저 (가) 조건에서 S_n ≠ S_(n+1)이므로 a_n ≠0입니다.
( -2, 0, 2 처럼 되면 안되고 -2, 1, 4 이런 식으로 간다는 거죠)
a_n>0이면 a_n을 더하면 S_n은 커지고
a_n<0이면 a_n을 더하면 S_n은 작아집니다.
그리고 S_n은 이차식이므로 이차함수의 개형을 생각해보면 위로 볼록한(d<0) 모양이고, 꼭짓점 근처 즉, a_n의 부호가 바뀌는 순간 주변에서 최댓값을 가질 것임을 알 수 있습니다.
a_n 부호가 바뀌는 지점을 관찰해야겠죠?
a_n>0인 가장 큰 n을 p라 하면 a_p>0, a_(p+1)<0이 됩니다.
이제 |a_p|와 |a_(p+1)| 값 중 누가 더 크냐에 따라 케이스를 나누어 볼게요.
① |a_p| < |a_(p+1)| 인 경우
a_p까지 양수이므로 S_p=36가 가장 크고
S_(p+1)-S_(p-1)=a_(p+1)+a_p<0 이므로 두번째로 큰 값은 S_(p-1)=35, 가장 작은 값은 S_(p+1)=33입니다.
따라서 a_p=1, a_(p+1)=-3으로 공차가 -4입니다.
a_1은 a_(p+1)에서 공차 -4를 p번 빼서 a_1=4p-3이므로
S_p = (a_1+a_p)×p÷2 = (4p-2)×p÷2=2p²-p=36, (2p-9)(p+4)=0인데 만족하는 자연수는 없습니다.
② |a_p| > |a_(p+1)| 인 경우
a_p까지 양수이므로 S_p=36가 가장 크고
S_(p+1)-S_(p-1)=a_(p+1)+a_p>0 이므로 두번째로 큰 값은 S_(p+1)=35, 가장 작은 값은 S_(p-1)=33입니다.
따라서 a_p=3, a_(p+1)=-1으로 공차가 -4입니다.
a_1은 a_(p+1)에서 공차 -4를 p번 빼서 a_1=4p-1이므로
S_p = (a_1+a_p)×p÷2 = (4p+2)×p÷2=2p²+p=36, (2p+9)(p-4)=0가 되어 p=4입니다.
a_1=15이고 a_10=15-4×9=-21이 되어 정답은 21입니다.
아래는 관련된 기출 문제입니다.(2019년 교육청 모의고사 수학 나형 10월 17번)
봐주셔서 감사하고요
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[수1에서 배울거리를 정리해보자]
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