수특에서 배울거리를 정리해보자 기하 10일차

아래는 오늘 문제인 수특 기하 36p Level2 1번, 3번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

쌍곡선에서 원이 함께 나올 때가 많습니다. 

문제에서 원을 안 그려줬을 때도 말이죠. 

OF=OF'는 당연한데 쌍곡선 위의 점 P에 대해 OF=OP인 경우가 있어요.

그러면 OF=OF'=OP니까 O에서 세 점까지 거리가 같죠.

그러면 O가 중심인 원 위에 F, F', P가 있겠죠.

O, F, F'이 한 직선 위에 있으니 FF'가 지름이 되고 각 FPF'는 지름에 대한 원주각으로 직각이 됩니다.

그러면 PF', PF의 길이를 x, y라 하면

쌍곡선의 정의에 의해 x-y=2a(주축 길이)라는 식 하나,

피타고라스에 의해 x²+y²=4c²(초점사이 거리 제곱)라는 식 하나가 나오죠.

그러면 뭐 연립하든 뭐가 됐든 문제를 푸는 도구가 하나 생기는 것이죠. 

첫번째 문제를 볼게요. 

위에서 말한 내용처럼 FF'P가 직각삼각형이 됩니다.

PF' 길이 a, PF 길이 b라 하면 a-b=8이 되고 a²+b²=144가 됩니다.

따라서 연립하면 PF'=a=4+2루트14가 되죠. 

FF'=FQ=12이므로 쌍곡선 정의에 의해 F'Q=4가 됩니다.

따라서 구하는 답은 2루트14의 제곱인 56이 됩니다. 

두번째 문제를 볼게요. 

마찬가지로 위에서 말한 내용처럼 FF'P가 직각삼각형이 됩니다.

(가)에서 PF'-PF=2AF=2OA이므로 OA=AF입니다.

따라서 c=2a가 되죠. 

PF' 길이 x, PF 길이 y라 하면 x-y=2a, x²+y²=(2c)²=16a²가 됩니다.

따라서 곱셈공식 변형을 해주시면 xy=6a²이고요.

PF'F의 넓이는 1/2 xy = 3a²입니다.

그런데 c=2a이므로 A는 F'F를 3:1 내분하므로 PAF의 넓이가 3/2이면 PF'F의 넓이는 6이 됩니다. 

따라서 1/2 xy = 3a²=6이므로 a=루트2가 되고 c=2루트2가 되죠.

따라서 답은 3루트2가 됩니다. 

봐주셔서 감사하고요

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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

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