수특에서 배울거리를 정리해보자 미적 9일차

아래는 오늘 문제인 수특 미적 57p Level2 7번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

대칭성 관련해서 알고 있으면 좋은 내용을 미리 정리 좀 해볼게요. 

1. 우함수와 기함수

y축 대칭인 함수를 우함수라 하고 모든 x에 대해 f(-x)=f(x)를 만족합니다.

우함수는 f'(-x)=-f'(x)를 만족시키므로 도함수가 기함수가 됩니다.

또한 [a, b]에서 정적분과 [-b, -a]에서 정적분과 같습니다. 

원점 대칭인 함수를 기함수라 하고 모든 x에 대해 f(-x)=-f(x)를 만족합니다.

기함수는 f'(-x)=f'(x)를 만족시키므로 도함수가 우함수가 됩니다.

또한 ([a, b]에서 정적분 값)+([-b, -a]에서 정적분 값) =0이 됩니다. 

2. 우함수와 기함수의 곱

우함수, 기함수의 곱이 우함수, 기함수가 되는 지 알고 있어야합니다.

f(x)×g(x)가 우함수인지 기함수인지 알아볼게요. 

① f(x) 우함수, g(x) 우함수이면

h(x)=f(x)g(x)에서 h(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=h(x) 즉, h(-x)=h(x)이므로 f(x)g(x)는 우함수

② f(x) 우함수, g(x) 기함수이면

h(x)=f(x)g(x)에서 h(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)(-g(x))=-f(x)g(x)=-h(x) 즉, h(-x)=-h(x)이므로 f(x)g(x)는 기함수

③ f(x) 기함수, g(x) 기함수이면

h(x)=f(x)g(x)에서 h(-x)=f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=h(x) 즉, h(-x)=h(x)이므로 f(x)g(x)는 우함수

3. 점대칭과 선대칭

f(a-x)=f(a+x) 또는 f(x)=f(2a-x)를 만족시키는 함수는 x=a에 대하여 선대칭이고

미분계수는 f'(a-x)=-f'(a+x)를 만족시키고

정적분은 ([a, a+x]에서 정적분 값)=([a-x, a]에서 정적분 값)을 만족시킵니다. 

f(a-x)+f(a+x)=2b 또는 f(x)+f(2a-x)=2b를 만족시키는 함수는 점 (a, b)에 대하여 점대칭이고

미분계수는 f'(a-x)=f'(a+x)를 만족시키고

정적분은 ([a-x, a+x]에서 정적분 값)=2xb를 만족시킵니다. 

증명들은 여기서 하진 않을텐데, 직접 그림을 그려보시면 쉽게 납득하실 수 있을 것 같아요. 

오늘 문제를 풀어볼게요.

(가)에서 g(x)는 기함수임을 알 수 있고, 

f(x)+1 =g(x)(sin²(πx)+1)가 되는데 g(x)가 기함수, (sin²(πx)+1)가 우함수이므로 h(x)=f(x)+1은 기함수입니다.

따라서 h(-x)=-h(x)이므로 f(x)+1=-f(x)-1 즉, f(x)+f(-x)=-2입니다.

따라서 f(x)는 (0, -1)에 대하여 대칭이죠. 

f(x)+f(-x)=-2에 x=0을 대입하면 f(0)=-1이고 따라서 g(0)=0이 됩니다. 

f(0)=-1이므로 (나)에 대입하면 f(-1)=3이고 f(x)+f(-x)=-2에 x=1 대입하면 f(1)=-5입니다. 

이를 또 (나)에 대입하면 f'(-1)=-2입니다.

f(x)가 (0, -1)에 대칭이므로 f'(-1)=f'(1)=-2가 됩니다. 

g(x)를 미분하여 x=1을 대입하여 정답을 구하면 -2가 됩니다. 

봐주셔서 감사하고요

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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

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