수특에서 배울거리를 정리해보자 24일차
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오늘 문제인 수특 수1 79p Level1 5번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요
a₁을 구할 때는 Sn에 n=1을 대입하여 a₁=3임을 알 수 있죠.
① 풀이1
a11만 구하려면 S11에서 S10을 뺴면 됩니다.
S11, S10을 다 계산한 후에 뺄셈을 하는 것 보다 같은 차수끼리 계산하는게 편합니다.
a11=S11-S10=2(11²-10²)-3(11-10)=39가 됩니다.
따라서 a11/a1=39/3=3입니다.
② 풀이2
이 문제에서는 a1, a11만 알면 되지만 an을 구해봅시다.
대신 n=1인 경우와 아닌 경우를 나누어서 생각해주어야합니다.
an=Sn-Sn-1에서 (n-1)이 자연수여야하므로 n≥2인 경우에
an=Sn-Sn-1=2(n²-(n-1)²)-3(n-(n-1))=4n-5가 됩니다. 단 n≥2이죠.
n=1인 경우에는 따로 대입하여 a1=3입니다.
③ 풀이3
등차수열일 때는 특별한 경우이므로 따로 알아두면 좋습니다.
등차수열 an=a₁+(n-1)d의 부분합은
Sn=(d/2)n²+(a₁-d/2)n으로
"최고차항의 계수는 공차의 절반", "상수항은 0"인 "이차식"이 됩니다.
만약 Sn=2n²+4n이면 보자마자 공차가 2의 두배인 4이고 첫항은 a1=S1=6이므로 an=4n+2임을 알 수 있는 것이죠.
그런데 지금 문제에서는 Sn의 상수항이 0이 아닙니다.
이 경우에는 n=1인 경우를 제외하고 n≥2에서 등차수열이 됩니다.
Sn=an²+bn+c라하면
an=Sn-Sn-1=a(n²-(n-1)²)+b(n-(n-1))=2an+a+b로 등차수열이 되는데 이 식은 n≥2에서만 성립합니다.
Sn이 이차식이면 an은 Sn의 이차항 계수의 두배가 공차인 등차수열이 되고, 상수항이 0이면 첫항부터, 아니라면 두번째항부터 등차수열이 됨을 미리 알고 있으면 편한 경우가 있습니다.
아래는 관련된 기출 문제입니다.
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[수1에서 배울거리를 정리해보자]
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