수특에서 배울거리를 정리해보자 미적 10일차
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아래는 오늘 문제인 수특 미적 58p Level3 2번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
미분가능한 함수의 역함수면 대부분 지점에서 미분이 가능한데, 미분이 가능하지 않은 순간들이 있습니다.
어떤 지점에서 미분이 가능하지 않은 지 알고 계시면 좋겠습니다.
f, g가 서로 역함수라면 g'(b)=1/f'(a)가 됩니다. (단, f(a)=b)
따라서 미분가능한 f에 대하여 g가 x=b에서 미분 불가능이라면 분모=0이 되는 f'(a)=0이라는 뜻이 되죠.
그림으로 봐도 f'(a)=0이면 x=a에서 접선이 x축에 평행한데 이를 y=x에 대칭이동시키면 y축 평행이라 직선의 기울기가 존재하지 않죠.
(가)에서 f 역함수가 x=c에서만 미분가능하지 않다고 하였으니
f'(x)=0인 실근 x가 하나입니다.
따라서 f'(x)=(-2x²+2x-2a)e^-2x에서 -2x²+2x-2a=0이 중근을 가져야하므로 a=1/4입니다.
대입하면 f'(x)=-2(x-1/2)²e^-2x이고 f'(k)=0인 k값은 k=1/2이 됩니다.
여기에 대응하는 값에서 역함수가 미분 가능하지 않겠죠.
따라서 c=f(1/2)=1/2e가 됩니다.
(나) 조건에서 h 역함수의 미분계수를 이야기 하고 있습니다.
h 역함수의 미분계수는 원래함수 h의 미분계수의 역수와 관련있죠.
h역함수 미분해서 f(0) 대입하는 대신 h미분해서 역함수h(f(0))을 대입하면 되죠.
따라서 h'(역함수h(f(0)))=-1/12e가 됩니다.
그런데 h(x)=f(g(x))이므로 역함수h=역함수g(역함수f)입니다.
따라서 역함수h(f(0))=역함수g(역함수f(f(0)))=역함수g(0)=0입니다.(g(0)=0)
따라서 h'(0)=-1/12e=f'(g(0))g'(0)=-b/2이므로 b=1/6e입니다.
정답은 c/ab=12가 됩니다.
봐주셔서 감사하고요
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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]
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미계=0 --> 역함수는 기울기 발산으로
미분불가
고생하셨습니다 봐주셔서 감사하고 도움되셨길 바라요