수특에서 배울거리를 정리해보자 미적 10일차

아래는 오늘 문제인 수특 미적 58p Level3 2번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.



미분가능한 함수의 역함수면 대부분 지점에서 미분이 가능한데, 미분이 가능하지 않은 순간들이 있습니다.

어떤 지점에서 미분이 가능하지 않은 지 알고 계시면 좋겠습니다.

f, g가 서로 역함수라면 g'(b)=1/f'(a)가 됩니다. (단, f(a)=b)

따라서 미분가능한 f에 대하여 g가 x=b에서 미분 불가능이라면 분모=0이 되는 f'(a)=0이라는 뜻이 되죠.

그림으로 봐도 f'(a)=0이면 x=a에서 접선이 x축에 평행한데 이를 y=x에 대칭이동시키면 y축 평행이라 직선의 기울기가 존재하지 않죠.

(가)에서 f 역함수가 x=c에서만 미분가능하지 않다고 하였으니

f'(x)=0인 실근 x가 하나입니다.

따라서 f'(x)=(-2x²+2x-2a)e^-2x에서 -2x²+2x-2a=0이 중근을 가져야하므로 a=1/4입니다.

대입하면 f'(x)=-2(x-1/2)²e^-2x이고 f'(k)=0인 k값은 k=1/2이 됩니다.

여기에 대응하는 값에서 역함수가 미분 가능하지 않겠죠.

따라서 c=f(1/2)=1/2e가 됩니다.

(나) 조건에서 h 역함수의 미분계수를 이야기 하고 있습니다.

h 역함수의 미분계수는 원래함수 h의 미분계수의 역수와 관련있죠. 

h역함수 미분해서 f(0) 대입하는 대신 h미분해서 역함수h(f(0))을 대입하면 되죠.

따라서 h'(역함수h(f(0)))=-1/12e가 됩니다.

그런데 h(x)=f(g(x))이므로 역함수h=역함수g(역함수f)입니다.

따라서 역함수h(f(0))=역함수g(역함수f(f(0)))=역함수g(0)=0입니다.(g(0)=0)

따라서 h'(0)=-1/12e=f'(g(0))g'(0)=-b/2이므로 b=1/6e입니다.

정답은 c/ab=12가 됩니다. 

봐주셔서 감사하고요

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