수특에서 배울거리를 정리해보자 기하 31일차

아래는 오늘 문제인 수특 기하 98p Level3 1번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

정삼각형에서 외접원의 중심은 정삼각형의 무게중심과 일치하죠.

그리고 무게중심은 꼭짓점에서 대변에 내린 수선(여기서는 중선)을 2:1로 내분합니다. 

정사면체에서도 비슷한 상황을 생각해볼 수 있습니다. 

정사면체의 네 꼭짓점을 지나는 구가 있고 이 구의 중심을 생각해볼 수 있어요. 

이 점을 우리가 정사면체의 무게중심이라고 배우지는 않지만

이 점은 정사면체의 각 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선들의 교점입니다.(다 한 점에서 만남)

그리고 그 점은 수선을 3:1로 내분합니다. 

결과가 간단하니 알아두시면 좋을 것 같고 증명은 좌표를 놓고 하면 되는데

일반적인 정사면체에 대해서는 직접해보시기 바랍니다.(오늘 문제 ㄷ 풀이랑 같은 과정으로 하면 되어요.)

오늘 문제 볼게요. 

ㄱ. 점 B의 좌표를 물었죠. 

O, A, B는 모두 zx 평면 위에 있습니다.

zx평면 생각해보면 OB=4이고 x축과 이루는 각이 30도이므로 B의 x좌표는 2루트3, z좌표는 2가 됩니다.

따라서 참이 됩니다. 

ㄴ. 점C의 좌표를 물었죠. 

C에서 밑면 OAB에 내린 수선의 발 즉, zx 평면에 내린 수선의 발을 H라 하면

H는 OAB의 무게중심이므로 H(2/루트3, 0, 2)가 됩니다. 

C와 H는 x, z좌표가 같으니 C의 y좌표만 구하면 됩니다.

직각삼각형 CHB의 높이 CH가 C의 y좌표가 되죠.

BC=4이고 한변 길이 4인 정삼각형의 중선의 2:1 내분을 생각하면 BH=4/루트3이 됩니다. 

피타고라스를 쓰면 CH=4루트6 / 3이 되어 C(2/루트3, 4루트6 / 3, 2)입니다. 

따라서 참이 됩니다. 

ㄷ. 정사면체의 네 꼭짓점을 지나는 구의 중심을 G라 할게요. 

GO=GA=GB이고 HO=HA=HB이므로 G는 HC 위에 있습니다. 

따라서 G의 x, z 성분은 C, H와 같아서 G(2/루트3, q, 2)라 할 수 있죠. 

이제 GB=GC임을 이용해 q를 구할 수 있는데 

GB=GC를 두 점 사이 거리 공식을 이용해 구하면 q=2/루트6이 됩니다.

따라서 참이 됩니다. 

여기서 실제로 G가 CH를 3:1로 내분하는 것을 알 수 있습니다. 

일반적인 정사면체에서도 3:1이 되는데 한번 직접 증명해보고 알아두시면 편할 때가 종종 있습니다. 

봐주셔서 감사하고요

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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

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