수특에서 배울거리를 정리해보자 미적 20일차

아래는 오늘 문제인 수특 미적 86p Level3 3번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

정적분으로 정의된 함수는 위끝 아래끝 같은 값을 대입하거나 양변을 미분하는 경우가 많죠.

양변을 미분할 때 피적분함수에 적분하는 변수만 남아있게 해두고 나머지는 상수처럼 취급해서 빼내어야 식을 다루기 편하죠. 

예를들어 ∫(x-t)f(t)dt이면 적분하는 변수가 t이니까 x는 상수취급해서

∫(x-t)f(t)dt=x∫f(t)dt-∫tf(t)dt처럼 x를 인테그랄 밖으로 빼는 것이죠. 

이런 변형은 많이 해보았을텐데 이 문제처럼 f안에 들어가는 변수 자체에

f(xt)처럼 적분하는 변수인 t와 그렇지 않은 x가 섞여 들어가있을 때가 있습니다.

이때는 인테그랄 밖으로 x를 어떻게 빼낼까? 치환적분을 하는 방법이 있습니다. 

오늘 문제를 볼게요. 

dt니까 적분하는 변수는 t입니다. 

f(xt)의 x를 인테그랄 밖으로 빼고 싶은 것이죠. 그래서

xt=u로 치환할게요. 

그러면 xdt=du 즉, dt =(1/x)du라 할 수 있구요.

t가 t=0에서 t=1로 변할때 u는 u=0에서 u=x로 변합니다. 

그러면 이제 t를 모두 없애고 u로 바꾸는 것이죠.

t=u/x를 대입해주면..

g(x)=π²∫x²(1-u/x)f(u)/x du=π²∫(x-u)f(u)du가 됩니다. 

이제 평소처럼 전개를해서 x를 바깥으로 빼줄게요

g(x)=π²∫xf(u)du-π²∫uf(u)du=π²x∫f(u)du-π²∫uf(u)du

입니다. 써두진 않았지만 위끝은 x고 아래끝은 0인 상태이죠. 

x=0 대입해보면 g(0)=0이고 미분해주시면

g'(x)=π²∫f(u)du+π²xf(x)-π²xf(x)=π²∫f(u)du 입니다.

따라서 g'(0)=0이죠.

이제 f(u)=cos(2πu)를 대입해주면

g'(x)=π²∫cos(2πu)du=(π/2)sin(2πx)이 됩니다. 

x<a에서 h'(x)=g'(x), x>a에서 h'(x)=g'(x-a)이므로 x=a에서 h가 미분가능하려면 g'(a)=g'(0)=0입니다.

따라서 g'(a)=(π/2)sin(2πa)=0이기 위한 양수 a를 작은 것부터 나열하면

a=1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, ... 입니다.

따라서 이를 작은 것부터 m개 더해주면

(1/2)(1+2+3+...+m)=(1/2)×{m(m+1)}/2=18, m(m+1)=72가 됩니다.

(m+9)(m-8)=0이 되므로 자연수 m 값은 8입니다. 

봐주셔서 감사하고요

도움이 되셨다면 좋아요, 팔로우, 댓글 남겨주시면 큰 힘이 됩니다. 

[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

1일차 https://orbi.kr/00043586953

2일차 https://orbi.kr/00054486743

3일차 https://orbi.kr/00054486856

4일차 https://orbi.kr/00054486909

5일차 https://orbi.kr/00054486964

6일차 https://orbi.kr/00054755049

7일차 https://orbi.kr/00055606627

8일차 https://orbi.kr/00055606695

9일차 https://orbi.kr/00055934554

10일차 https://orbi.kr/00056038091

11일차 https://orbi.kr/00056055480

12일차 https://orbi.kr/00056076859

13일차 https://orbi.kr/00056087931

14일차 https://orbi.kr/00056209161

15일차 https://orbi.kr/00056218374

16일차 https://orbi.kr/00056245358

17일차 https://orbi.kr/00056255150

18일차 https://orbi.kr/00056285424

19일차 https://orbi.kr/00056297739

20일차 https://orbi.kr/00056317870

21일차 https://orbi.kr/00056329144

22일차 https://orbi.kr/00056353975

23일차 https://orbi.kr/00056365299

24일차 https://orbi.kr/00056383119

25일차 https://orbi.kr/00056395643

26일차 https://orbi.kr/00056415172

27일차 https://orbi.kr/00056425159

28일차 https://orbi.kr/00056446414

29일차 https://orbi.kr/00056485619

30일차 https://orbi.kr/00056500731

31일차 https://orbi.kr/00056515335

[수특 수2에서 배울거리를 정리해보자]

1일차 https://orbi.kr/00056604978

2일차 https://orbi.kr/00056619232

3일차 https://orbi.kr/00056634162

4일차 https://orbi.kr/00056647537

5일차 https://orbi.kr/00056661437