수특에서 배울거리를 정리해보자 미적 15일차

아래는 오늘 문제인 수특 미적 74p Level3 1번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

볼록성의 정의와 성질, 이를 식으로 표현한 것을 잘 알아볼 수 있어야합니다.

아래로 볼록만 이야기해볼게요. 

① 

아래로 볼록한 함수 f(x)에 대해서 

a≤x≤b이면 두 점 (a, f(a)), (b, f(b)) 지나는 직선 y=g(x)에 대해

항상 f(x)≤g(x)가 됩니다. 

즉 양끝 두 점을 잇는 선분보다 함수 그래프가 아래에 있는 것이죠. 

② 

a, b의 평균값은 (a+b)/2이죠.

이 평균값을 f에 대입한 것과 f(a), f(b)의 평균값을 비교해볼 수 있습니다. 

두 점 (a, f(a)), (b, f(b)) 지나는 직선을 y=g(x)라 하면

f(a), f(b)의 평균값은 g(a), g(b)의 평균값과 같고

g(x)는 직선이므로 이 값은 a, b의 평균값 (a+b)/2를 g(x)에 대입한것 과 같습니다.

①내용을 생각해보면 x=(a+b)/2를 f(x)에 대입한것이 g(x)에 대입한것보다 작겠죠

그래서 f에 (a+b)/2를 대입한 값이 f(a), f(b)의 평균보다 작거나 같습니다. 

평균은 1:1 내분이죠, 1:1내분말고 m:(1-m) 내분으로 해도 성립합니다.

③

기울기 변화를 관찰해볼게요.

아래로 볼록이면 오른쪽으로 갈수록 기울기가 커집니다.

a<b일 때 f'(a)≤f'(b)인 것이죠.

그런데 순간변화율 말고 그 사이 평균변화율을 넣어도 성립합니다.

그러니까 f'(a)≤{f(b)-f(a)}/(b-a)≤f'(b)

이 성립합니다.

볼록성에 관해서 이런 성질들을 한 세트로 떠올려 주셔야하고,

수식으로 주어졌을 때 볼록성으로 해석할 수 있어야 합니다. 

오늘 문제를 풀어볼게요. 

f(x)=2sin(π/4 x), g(x)=ax+b라 할게요

x≥0에서 f(x)≤g(x)이어야 합니다. g(x)가 사인그래프보다 위에 그려지면 되는데, 

a+b=g(1)의 값이 최소가 되어야하므로

함숫값 g(1)이 최소가 됩니다.

그러면 f(1)≤g(1)이므롤 f(1)=g(1)=√2가 된다면 최소겠죠. 

g(x)가 (1, √2)를 지난다고 할게요.

기울기를 정해주어야하는데, 

g'(1)=f'(1)이 되는 경우[0, 4]에서 f(x)가 위로 볼록하므로 

x=1에서의 접선 g(x)는 항상 f(x)≤g(x)를 만족시킵니다.

g'(1)>f'(1)이거나 g'(1)<f'(1)이면 x=1 주위에서 f(x)≤g(x)를 만족시키지 못함을 알 수 있죠. 

따라서 g'(1)=f'(1)=√2/4가 됩니다.

g(x)=f'(1)(x-1)+f(1)이므로 a=√2π/4, b=√2(1-√2/4)가 됩니다. 

구하는 값은 ab=π/2 (1-√2/4)입니다. 

봐주셔서 감사하고요

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