수특에서 배울거리를 정리해보자 미적 14일차
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아래는 오늘 문제인 수특 미적 72p Level2 1번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
f가 미분가능할 때 x=a에서 극값을 가지면 f'(a)=0이 됩니다.
하지만 f'(a)=0이라고 해서 x=a에서 극대인지, 극소인지 모르며 극값을 반드시 가지는 것도 아니죠.
그런데 f가 이계도함수를 갖는다면 f''(a)의 부호에 따라 f가 x=a에서 극대, 극소를 갖는지 알 수 있습니다.
f'(a)=0, f''(a)>0이면 f가 x=a에서 극소를 갖고,
f'(a)=0, f''(a)<0이면 f가 x=a에서 극대를 갖습니다.
f'(a)=0, f''(a)=0일 때는 직접 따져봐야해요.
오늘 문제를 볼게요.
f'(1)=0, f''(1)=a+1이므로 a+1<0 즉, a<-1이면 f는 x=1에서 극대를 갖습니다.
반대로 a>-1이면 극소를 갖구요.
a=-1일 때는 직접 따져주어야합니다.
a=-1이면 f''(x)= -(x-1)²/x이므로 정의된 구간 (0, ∞)에서 f''(x)는 x=1일 때만 0이고 x≠1이면 f''(x)<0이 됩니다.
f''을 f'의 도함수로 생각하면 x=1에서만 0이고 나머지는 부호가 음수이므로
f'은 감소함수가 됩니다.
그런데 f'(1)=0이므로 x<1에서 f'(x)>0, x>1에서 f'(x)<0임을 알 수 있죠.
따라서 f'(x)의 부호가 x=1 좌우에서 양수에서 음수로 바뀌므로
f(x)는 x=1에서 극대를 가짐을 알 수 있습니다.
a=-1인 경우도 x=1에서 극대를 가지므로 x=1에서 극대를 갖기 위한 조건은 a≤-1이 되어 정수 a의 최댓값은 -1입니다.
봐주셔서 감사하고요
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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]
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