[칼럼] 미적분을 곁들여 231122 연역적으로 풀어보기

*본 칼럼은 물개물개님의 칼럼대회에 제출되었습니다.

본 글에는 합성함수 미분에 대한 내용이 일부 포함되어 있으니 심장이 약한 통통이분들은 주의하시길 바랍니다.

현장에서 이런 킬러 문제를 풀다보면 '에라이 시발 얻어 걸려라!'라는 내면의 외침과 함께 무작정 개형부터 그려보면서 수학 시험이 미술 시험이 되어버리는 일들이 종종 있습니다.

하지만 이런 풀이는 필연성과 논리적 완결성이 상당히 떨어져서 운이 나쁘면 정답인 케이스에 도달하기까지 시간이 상당히 오래 걸리고, 답이 아닌 경우들을 걸러낼 때 감에 의존하는 경향이 있습니다.

그렇다면 이 문제를 풀 때 꼭 g(x)에 대한 이차식을 전개해서 근의 공식으로 g(x)를 직접 구해야만 제대로 된 풀이냐?

그것도 좋은 방법이지만, 오늘 제가 소개해드릴 풀이는 조금은 다른 방식입니다.

본 글에서는 수식과 그래프를 적당히 섞어서 g(x)의 연속성도 검증할 수 있고, 5/2가 f(x)와 (1,f(1))을 지나는 직선의 접점의 x좌표가 될 수 밖에 없음을 연역할 수 있는 풀이를 소개해드리려 합니다.

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Step 1.

가조건을 그대로 둔다면 크게 얻을 정보가 없기에 등식을 다음과 같이 바꿉니다.

등식을 변형하면서 x=1에 대한 정보가 누락되었고, g(x)가 미지의 함수이기 때문에 대략적인 정보를 파악합니다.

위 사실로부터 다음의 결과를 도출해낼 수 있습니다.

Step 2.

여기서 5/2의 위치를 어느 정도 특정해볼 수 있습니다.

따라서 다음의 결론을 도출할 수 있습니다.

지금까지 얻은 정보를 그래프에 나타내면

Step 3.

지금부터 매우 중요하니 집중합시다.

5/2가 대칭축 우측에 있다는 점을 통해 g(x)가 f'(x)의 증가 구간에서만 합성된다는 사실을 알 수 있습니다.

그리고 이 말은 가조건의 등식을 g(x)에 대해 표현할 수 있다는 이야기로 이어집니다.

사실 좀 더 간단하게 표현하는 방법도 있습니다.

새로운 함수 p(x)를 다음과 같이 정의한다면?

Step 4.

미지의 함수였던 g(x)의 정체를 어느 정도 파악할 수 있게 되었으니 관찰합니다.

지금까지의 과정을 통해서 g(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수라는 숨겨진 조건을 도출할 수 있습니다.

수2에 나온 문제라서 이점이 크게 문제가 되진 않았지만, 미적분에서 이런 특징을 활용해야만 풀리는 문제를 낸다면 정답률이 상당히 떨어질 것이라고 예상이 됩니다.

섬세하게 공부해서 미래를 대비할 수 있도록 합시다.

Step 5.

g(x)가 미분가능한 함수임을 알았으니 최솟값을 파악하기 위해 미분합니다.

Step 6.

g(x)에 대한 정보를 얼추 모두 잡아냈기 때문에, f(x)를 결정합니다.

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부연 설명을 위해 호흡이 길어진 감이 있지만, 순차적으로 정보를 해석해보면 생각보다 굉장히 간결합니다.

본 글의 풀이만 맞고 다른 풀이는 무조건 틀렸다!라고 할 순 없지만 꽤나 장점이 많은 풀이라 공부해보는 것이 좋다고 생각합니다. ㅎㅎ

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