미분가능성과 미분계수?
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f(x)=2x+x2sin(1/x) (x≠0)
0 (x=0)
일 때, f'(0)을 구하는 문제입니다.
f(x)를 미분하여 lim f'(x)를 구하려고 하면 값이 존재하지 않습니다.
x->0
미분계수의 정의에 의하여 f'(0)를 구하면 좌우극한값이 모두 존재합니다.
일반적으로 구간 나눠진 함수에서 구간 나눠진 그 지점에서의 미분계수를 구할 때,
함수를 각각 미분하여 좌미분계수와 우미분계수를 구한다음 같을 때 그 값이 미분계수라고 풀었었는데,
이 문제는 왜 그게 안 되는건지.. 그 값이 없으면 그 지점에서 미분이 불가능하다고 받아들여야 하는지..
근데 미분계수의 정의에 따라 왜 값이 나오게되는지..
미분계수가 있다는 건 미분이 가능하다는 이야기니까
x≠0이 아닐 떄의 f'(x)에다가 x->0으로 보내는 값(좌우극한 모두)이 곧 미분계수가 아닌가요?
제가 푼 방법대로 하려면 어떤 전제가 필요한건지 개념이 흔들립니다.
f'(0)이 존재한다고 해서 y=f'(x)가 x=0에서 연속이라고 할 수 없는 반례로 나온 문제인데
이런 문제가 성립할 수 있는건가요?
도함수와 미분가능성, 미분계수와 좌우미분계수에 대한 개념들과 제 질문에 답변 부탁드립니다. 감사합니다.
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추가로 f(x)와 f'(x)의 그래프 개형에 대해서도 알고 싶습니다.
간단히 말하면 f(x)가 0인 구간과 0이 아닌구간으로 나뉘었죠?? 왜 나눴을까요?? 원함수만으로는 f(0)을 정의할수없기 때문이에요....x->0일때 limf(x)랑 f(0)은 완전히 다르거든요
그리고 원함수를 미분한 도함수도 x값이 0인구간과 0이아닌구간으로 당연히 나눠야겠죠?? 근데 그 미분한 도함수만을 가지고 f'(0)를 정의할수있나요?? 아마 실제로 미분하셔도 cos(1/x)가 남아서 계속 진동할걸요ㅋㅋㅋ그래서 미분계수의 정의로 풀어야해요ㅋㅋㅋㅋ그리고 여기서 중요한게 님도 본문에 적으셨지만 이게 미분가능한 원함수의 도함수가반드시 연속은 아니라는 사례에요
미분가능 불가능은 미분계수의 정의로 판단해야 합니다.
곱의 미분법을 써서 거기에다 lim 붙이면 안됨.
왜냐하면 y=x^2sin(1/x) 처럼 x=o에서 연속이며 미분가능하나, 도함수f'(x)가 x=o에서 불연속인 특이함수가 있기 때문입니다.
단, y=xsin(1/x)는 x=0에서 연속이고, 미분불가능!
이러한 함수는 매년 EBS에 나왔으며, 교육청, 사관학교에 출제된 적이 있으면 2013학년도 한양대 모의논술에도 출제가 되었답니다.
제 킬러문항 집중탐구 강좌 수2에서 다룹니다.
미분가능하나 도함수가 불연속인 함수는 도함수가 그 점에서 진동하는 경우 뿐인가요?