행렬 관련 명제 증명해주실 분?

Question

명제가 참이라는 건 기억이 나는데 증명이 생각이 나질 않네요.

이차정사각행렬 A에 대하여

(A-pE)(A-qE)=O이면 A-kE는 역행렬이 존재한다.

(단, k≠p,k≠q이다.)

포카칩 · Accepted Answer

(A-kE)(A-(p+q-k)E)=(-pq+kp+kq-k^2)E

이 식과 윗식은 동치겠네요. (암산해서 틀릴수도.. 이런 꼴입니다.)

이런거 증명할줄 아는것도 중요하지만 A-kE의 역행렬의 존재성을 판단하기 위해선 (A-kE)B=E 꼴로 나타낼 수 있어야 하는 점을 더 중요시해야 합니다.

kaz_ · Answer

A=pE 혹은 A=qE 이면 A-kE 역행렬이 존재한다

A가 pE도아니고 qE도 아니라면
 A-pE,A-qE 는 역행렬을 가지지 않는다
이때 A-xE 역행렬을 갖지 않는다 가정하면
D(A-xE)=x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0 
이를 만족하는 실수 x는 많아야 2개이므로 
필연적으로 x=p,x=q 밖에 없고 따라서
p,q가 아닌 k에대해 A-kE는 역행렬을 가진다

쫌 장황하나욬ㅋ..ㅠ

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