함수의 극한 문제 질문드립니다.

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y=x^2 위의 한 점 P(t,t^2)에서 접선이 y=-x^2과 만나는 점을 Q, y=-x^2+1과 만나는 점을 R이라 하자.

t가 무한대로 갈 때 QR 길이의 극한값은? 이라는 문제입니다.

t가 무한대로 갈 때의 접선을 상상해보면, 기울기가 무한대로 가니까 x축에 수직인 직선이 그려지고,

결국 Q와 R도 x축에 수직인 직선 위에 놓이게 되어 그 거리가 1이라고 생각했는데 정답이 아닙니다.

어디서 생각이 잘못 되었는지요? Q와 R의 좌표를 t에 대해 구한 다음에 극한값 계산하는 방식말고,

t가 무한대로 갈 때의 상황을 상상하여 기하로 풀 수 있는 방법 있으면 알려주시기 바랍니다.

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아기나라 [16293]

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일타삼피 · 424982 · 13/05/03 19:05

제 기억으로 답이 루트2 였나 그랬던거 같네요.(아님 ㅈㅅ) 저도 이 문제 2달전에 님처럼 풀고 틀렸습니다.
극한문제 중에 직관으로 풀리는 문제들이 꽤 있습니다.
제가 풀어본 이러한 여러문제중 몇개를 떠올려보면 도형에서 어떤 직선의 극한을 곡선의 접선으로 간주하고 푸는 문제가 대다수였던걸로 기억해요. 그런데 위 문제는 그렇게 풀면 틀렸어요. 저는 저 문제 때문에 '그냥 계산하는게 장땡이겠다.' 라고 생각하게 됬습니다.;
님의 직관에는 틀린게 없어요. 당연히 할 수 있는 발상입니다. 문제는 실제 극한값이 그 직관이랑 일치하지 않는다는거..
정말 도형 극한문제 직관으로 풀리면 정말 기분 좋은데요. 위 문제 같은 경우는 안풀렸어요. 그래서 전 그 이후로 계산을 다 합니다.; 물론 직관으로 어떻게 될지 상상하고 나서 계산해요.(상상이 되는 문제 중에서 제 상상과 답이 일치하지 않은 경우는 아직 저것밖에 없었어요. 그래도 그냥 계산하는게 옳은 방법 같습니다.;)

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아기나라 · 16293 · 13/05/04 00:40 · MS 2003

저도 직관으로 극한값 계산 틀린 적이 없었는데 이 문제 보니까 좀 위험하단 생각이 들긴 한데요..
제 직관 중에 틀린 부분이 있다고 생각하고 있거든요.. 답은 아마 루트2분의 1인 듯..

그나저나 완전한 문제를 정확히 다시 보고 싶은데, 이 문제 출처 알려주실 수 있나요?

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일타삼피 · 424982 · 13/05/04 11:02

저는 학원수업교재에서 푼거라 정확한 출처는 모르겠네요.;

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코난샘 · 389356 · 13/05/04 02:46 · MS 2011

작년 사설 모의고사 문제입니다. 보통 직관으로 해결되는 경우는 무한대로 갈 때, 변수가 일정한 비율로 증가(또는 감소)하는 경우인데, 이 문제에서는 t가 무한대로 갈 때, 접선의 기울기는 2t로서 무한대와는 약간의 차이가 있고, 그 차이가 x축까지 내려오면서 접선의 x절편 t/2를 지나게 됩니다.
즉, 높이 올라간만큼 또다시 내려오는 무한대의 개념이 2번 사용된 경우이며, 높이 올라갈 수록 내려올 때 차이가 벌어진다는 의미가 담겨 있습니다.

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일타삼피 · 424982 · 13/05/04 11:03

아 사설모의고사 문제였군요.
그 접선의 x절편이 t/2(접점의 x좌표의 반) 라는게 상당히 걸리네요.; 이 부분에서 직관이 잘못된건가 싶네요.;ㄷㄷ 걍 계산해야죠.ㅋㅋ

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다큐 · 386689 · 13/05/04 20:32 · MS 2018

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