[수학2] 무조건 발산하는 경우를 기억하라고(1) (#270611 #260913)

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반갑습니다. student1 입니다. 이번 글에서는 지난번 강의했던 극한으로 정의된 함수 내용을 토대로

[2026학년도 9월 13번], [2027학년도 6월 11번]을 해설해보려고 합니다.

[지난 글 링크] - [수학2] 어쩌면 올해 21번도 이럴지 모른다고 (부제 : 극한을 올바르게 이해하는 방법)

더 최근 문제인 [2027학년도 6월 11번] 부터 보시죠.

먼저 풀어보시면 더 좋을 것 같습니다!

천천히 첫줄부터 독해해보겠습니다. 일차함수 f(x)가 주어져있고, 밑에는 극한으로 정의된 함수가 있습니다.

이름부터 붙여보겠습니다.

이때, 이 극한값이 a=0 일 때 존재하고, a=3 일 때 존재하지 않으니 다음과 같이 정리할 수 있겠습니다.

다시 말해 함수 g(a)는 a=0 에서는 정의되어 있고, a=3 에서는 정의되어 있지 않은거죠.

정의되어 있지 않은 a=3 일 때 부터 보겠습니다. 그 이유는 이 극한값이 존재하지 않는 것이 상당히 특이한 경우이기 때문이죠. 그 이유를 설명드리겠습니다.

먼저 이 극한값은, 대체로 존재합니다. 분자와 분모 모두 다항함수이므로 x->a 인 상황에서 분자와 분모 모두 항상 수렴하기 때문에 늘 그랬듯 극한의 성질을 자연스럽게 사용할 수 있습니다. 분모가 0으로 수렴하면서 분자가 0이 아닌 수로 수렴하는 상황만 아니라면 말이죠. (지난 글에서 설명드렸던 " 무 조 건 발 산 하 는 경 우 " 입니다)

그런데 g(3)이 존재하지 않네요? 네 맞습니다. 무 조 건 발 산 하 는 경 우 여야 하는거죠.

따라서 다음과 같이 결론을 내릴 수 있습니다.

이때 극한에 들어간 함수들이 모두 다항함수, 즉 연속함수이기 때문에 대입을 해주시면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있고, 따라서 f(x)를 작성할 수 있습니다.

한편, a=0 일 때는 극한값이 존재해야 합니다. 한번 같이 보시죠.

분모가 0으로 수렴하는 상황입니다. 이때 분자가 0으로 수렴하지 않는다면, "무조건 발산하는 경우" 여서 g(0)은 존재하지 않게 되겠죠. 따라서 f(2)=0 임을 얻어낼 수 있습니다.

여기서 주의하셔야 할 점이 있습니다. f(2)=0 이라고 해서 저 극한값이 항상 존재하는건 아닙니다. f(2)=0 임에도 불구하고 분모의 책임감이 더 크다면, 다시 말해 영인자(이하 zero)의 개수가 분모가 더 많다면, 저 극한은 존재하지 않는다는 것을 명심해야 합니다. (지난 글의 표현을 빌리자면 "분자가 책임을 져주려고 했지만 책임감이 부족한 상황" 입니다)

f(2)=0 이라고 해서 저 극한값이 항상 존재하는 것은 아닙니다만, f(2)가 0이 아니면 저 극한이 존재할 수 없기 때문에 f(2)=0 일 수 밖에 없는거죠. 따라서 f(2)=0을 통해서 f(x)의 식을 다음과 같이 확정할 수 있습니다.