[수학1] 당연하지 않은 정보를 활용하라고 (부제 : 지수로그 식세팅의 기본) (#221109)
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반갑습니다. student1 입니다.
오늘은 지수로그 식세팅의 기본을 2022학년도 수능 9번 문항을 통해 소개해보려고 합니다. 먼저 문제부터 보시죠.
밑이 같은 두 지수함수가 제시되어 있고, 기울기가 2인 직선과 점 P, 점 Q에서 만나고 있습니다.
여기서 해야 하는 가장 기본적인 발상은 "지수로그에서 직선이 나오면 기울기에 집중하는 것" 입니다.
평가원은 직접출제범위도 아닌 중2때 처음 배우는 일차함수를 아무 이유 없이 출제하지 않기 때문이죠.
직선이 나온다면 기울기에 집중하는 태도를 가집시다!
따라서 우리는 기울기를 직각삼각형으로 표현하는 것에 익숙해져야 합니다.
위 그림처럼 선분 PQ를 빗변으로 하는 직각삼각형을 작도한 후에
기울기가 2라는 사실을 변의 길이를 t, 2t로 설정함으로써 표현한다면, 빗변의 길이가 피타고라스 정리에 의해 (루트5)t 가 됩니다. 이때 선분 PQ의 길이가 루트5라고 했기 때문에, t=1임을 알 수 있습니다.
당연한 말이지만, 이처럼 직선의 기울기를 직각삼각형을 이용하여 표현했을 때,
기울기가 1이라면 1 : 1 : 루트2, 기울기가 2라면 1 : 2 : 루트5, 기울기가 3이라면 1 : 3 : 루트10 과 같은 길이의 비를 만족하는 거죠.
따라서 t가 1이기 때문에 P, Q의 x좌표를 미지수 1개로 표현할 수 있게 되었습니다.
차이가 1이 되도록 P의 x좌표를 ☆, Q의 x좌표를 ☆+1 이라고 표현해보겠습니다.
이때, P,Q는 두 그래프의 교점이기 때문에 y좌표를 두가지 방법으로 표현할 수 있습니다.
수학1 지수로그함수 문제해결의 기본이자 핵심이죠. 바로 "교점" 으로 식을 세운다는 것.
이것을 저는 혼자 풀 때 아래와 같이 표현합니다. y좌표 자리에 밑줄을 친 후에 그 아래에 관계식을 세우는 것이죠.
(습관 들이면 꽤 편한 표기법입니다)
여기서 우리는 "P와 Q의 y좌표 차이가 2이다" 라는 정보를 이용하여 식을 세워야 합니다.
이때 우리는 P와 Q의 y좌표를 두가지 방식으로 표현했기 때문에 두 가지 방법이 있겠습니다.
1. 초록색끼리 뺀 값 = 2
2. 파란색끼리 뺀 값 = 2
여기서 1번 방법을 선택한다면, 아무런 정보도 얻을 수 없습니다. 아래와 같이 말이죠.
아무런 정보도 얻지 못한 이유는, 1번은 당연한 정보이기 때문입니다. 기울기가 2이기 때문이죠.
아래 그림과 같이, 기울기가 2인 직선 위에 x좌표 차이가 1인 두 점을 잡았다면, 두 점의 y좌표 차이가 2인 것은 당연합니다. 방금 말씀드렸듯 기울기가 2이기 때문이죠.
하지만, 아래 그림과 같이 두 지수함수 위에 x좌표 차이가 1인 두 점을 잡았다면, 두 점의 y좌표 차이가 2인 것은 당연하지 않습니다. 그래서 정보의 가치가 있는거죠. 
우리는 당연하지 않은 정보로 식을 세워야 합니다.
그래서 두가지 방법 중 올바른 방법은 2번 방법인 "파란색끼리 뺀 값 = 2" 입니다.
따라서 아래 그림과 같이 식을 세워서, ☆=-2임을 얻을 수 있습니다.
이렇게 얻은 ☆=-2 를 ☆과 k가 포함된 관계식에 집어넣으면, k= 17/3 이라는 값을 도출할 수 있게 되고, 문제풀이가 끝나게 됩니다. 설명이 길었지만, 결국 핵심은 "교점으로 식을 세우는 것", "당연하지 않은 정보를 활용하는 것" 이었습니다. 지수함수와 로그함수 관련 좌표계산 문제가 나왔을 때 이런 점을 활용한다면 훨씬 매끄러운 풀이를 완성할 수 있을 것이라고 생각합니다.
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다음에 더 좋은 설명과 자료로 찾아뵙겠습니다 :D
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