[수학2] 어쩌면 올해 21번도 이럴지 모른다고 (부제 : 극한을 올바르게 이해하는 방법)

Question

다음은 오답률 87.6%(EBS기준, 확통/미적 선택자)를 기록했던 2025학년도 수능 21번입니다.

다음은 오답률 97.6%(EBS기준, 확통/미적 선택자)를 기록했던 2026학년도 수능 21번입니다.

반갑습니다. student1 입니다. 위 문항들의 공통점들이 느껴지시나요?

이 문항들의 공통점은 바로 4점 고난도 문항임에도 "함수의 극한" 을 활용했다는 점입니다.

많은 학생들이 그래프 추론 맞히려고 2단원 미분, 3단원 적분 열심히 공부할때, 평가원은 작년과 재작년 수능 21번 자리에 함수의 극한을 활용한 문항을 출제했습니다.

물론, 이 문항들이 순수하게 1단원 "함수의 극한과 연속" 단원만 배웠다고 해서 풀 수 있는 문제는 아닙니다.

1단원 내용 말고도 미분을 활용한 함수의 그래프 내용, 그리고 수학2 특유의 그래프 추론 능력이 필요한 것도 사실입니다. 하지만, 이 두 문항 모두 "함수의 극한"을 제대로 공부하지 않았다면 문제 접근조차 힘들어할 가능성이 높다는 것은 자명하다고 생각합니다. 그래서 오늘은 함수의 극한에 대하여, 특히 그중에서도 "극한으로 정의된 함수" 에 대하여 다뤄볼까 합니다.

극한으로 정의된 함수를 이해하기 위해서는, 가장 기본적인 교과개념인 "함수의 극한에 대한 성질" 을 정확하게 알고 있어야 합니다. 늘 그렇듯 수능 수학의 모든 것은 "교과 개념"으로부터 출발하니까요. 함수의 극한에 대한 성질은 다음과 같습니다.

함수의 극한에 대한 성질을 요약한다면, "각각이 수렴할때, lim을 쪼갤 수 있다" 로 요약할 수 있습니다.

각각의 극한이 수렴한다는 가정 하에, 사칙연산으로 이어져 있는 함수에 대한 lim를 따로따로 적용할 수 있다는 거죠.

하지만, 여기서 주의해야할 점은, 나눗셈에서는 분모가 0이 아닌 수로 수렴해야 쪼갤 수 있다는 것입니다.

"덧셈, 뺄셈, 곱셈일때는 각각이 수렴하기만 하면 lim을 쪼갤 수 있지만, 나눗셈에서는 각각이 수렴하는 것만으로는 부족하고, 분모가 0이 아닌 수로 수렴해야 쪼갤 수 있다" 라고 요약할 수 있겠습니다.

아주 쉬운 예시를 들어보겠습니다. 다음과 같은 극한 식을 예로 들어보죠.

극한을 쪼개어 계산하고 싶습니다. 그랬을 때 항상 체크해야 하는 것은 각각이 수렴하는지입니다.

각각이 수렴해야지만 lim를 쪼갤 수 있기 때문이죠. 한번 체크해보면,

분모와 분자 각각이 수렴합니다. 근데 여기서 또 체크해야 할 것이 하나 남았습니다. 바로 분모가 0이 아닌 수로 수렴하는지를 체크해야합니다. 왜냐하면 나눗셈이기 때문이죠. 분모는 3, 즉 0이 아닌 수로 수렴하기 때문에, 극한의 성질을 사용하여 다음과 같이 계산해주시면 되겠습니다.

(극한의 성질을 너~무 잘 활용하고 싶다면 다음과 같이 해주셔도 됩니다. 오히려 처음 공부할 때는 이렇게 공부하는게 바람직하다고 생각하는 바입니다.)

이렇게 극한의 성질을 활용하면, 여러가지 명제를 도출해낼 수 있습니다. 분수가 수렴할 때 분모가 0으로 가면 분자도 0으로 가야한다는 둥.. 분자가 0으로 가면 분모도 0으로 가야한다는 둥.. 이런 이야기들 말이죠. 마지막에 첨부해드릴 제 PDF 자료를 보시면 제가 엄밀하게 증명까지 적어놓았으니, 한번 천천히 읽으면서 공부해보시면 좋을 것 같습니다.

여러 명제들 중에서도 이 글에서 다룰 "극한으로 정의된 함수"를 잘 이해하기 위해서 다음 명제를 소개하려고 합니다.

다시 말해, 분자 분모가 연속함수일 때, 분모가 0으로 수렴하는데 분자가 0이 아닌 값으로 수렴하면 분수의 극한값은 무조건 발산한다는 사실입니다. 이를 앞으로 "무조건 발산하는 경우" 라고 부르겠습니다. (증명은 역시나 PDF 파일에 있습니다)

서론이 길었습니다. 자 그러면 이제 극한으로 정의된 함수로 넘어가보겠습니다. 다음과 같은 극한식을 살펴보죠.

이 극한식에서 다음과 같이 물었다고 해봅시다. "모든 실수 t에 대하여 저 극한은 항상 수렴하나요?"

정답은 YES입니다. 예를 들어보죠. t=1이라고 해보면,

이 될 것이고, t=-3이라고 하면 다음과 같겠죠.

이처럼 저 극한식은 분자 분모가 다항함수이기 때문에 각각이 항상 수렴하고, 그 어떤 t에 대해서도 분모는 절대 0으로 수렴할 수 없기 때문에 그 어떤 실수 t를 집어넣더라도 아무문제 없이 극한의 성질을 쓸 수 있고, 따라서 저 극한값은 모든 실수 t에 대해서 존재하는 것입니다. (이차함수의 판별식을 이용하여 판단할 수 있습니다)

또 다른 예시를 들어보겠습니다.

이 극한식에서 똑같이 물었다고 해봅시다. "모든 실수 t에 대하여 저 극한은 항상 수렴하나요?"

정답은 NO입니다. 분자 분모가 둘다 다항함수라 항상 각각이 수렴하는데, 왜 NO 일까요?

그 이유는 아까 말씀드렸던 "무조건 발산하는 경우" 때문입니다. t=1 이거나 t=-1일 때는 분모가 0으로 수렴하지만, 분자가 0으로 수렴하지 않아서 저 극한이 존재하지 않기 때문이죠.

마지막 예시를 들어보겠습니다.

"모든 실수 t에 대하여 저 극한은 항상 수렴하나요?" 라고 물었을 때, 이제는 NO라고 대답할 수 있을겁니다.

하지만, t가 몇일때 수렴하지 않냐고 되묻는다면, "t=-1 또는 t=2 일때 입니다" 라고 대답하면 틀립니다.

잘 보시면, t=2일 때는 분모가 0으로 수렴하고 분자가 0이 아닌 값으로 수렴하기 때문에 "그 경우" 여서 수렴하지 않습니다. 하지만, t=-1일 때는 분모가 0으로 수렴하지만 분자도 같이 0으로 수렴하게 되고, 심지어 인수분해 했을 때 분모를 다음과 같이 약분시킬 수 있기 때문에 t=-1일 때는 극한이 수렴합니다.

따라서 가 수렴하지 않도록 하는 t는 2 뿐입니다. 분모에 (x+1) 이라는 인수가 있음에도 말이죠. 분모만 보고 섣불리 판단하시면 안됩니다.

연습문제 드립니다. 혼자 풀어보시고, 정답과 비교해보시길 바랍니다. (질문은 환영합니다!!)

"모든 실수 t에 대하여 는 항상 수렴한다" ( YES / NO )

정답 : NO, t=-1 또는 t=2 일때는 수렴하지 않음.

아까의 예시에서 인수 개수만 추가된건데... 이번엔 왜 t=-1 일때도 발산할까요? (힌트 : 분자가 어느정도 책임을 져주려고 했지만 책임감이 조금 부족한 상황입니다)

지금까지의 내용을 잘 따라오셨다면, 마지막은 간단합니다. 이것을 함수로 이름 붙이는 거죠.

그 어떤 실수 t를 넣더라도 저 극한값이 존재한다는건 모든 실수 t에 대해 함숫값 g(t)가 존재한다는 말이니까요.

함수 g(t)에 어떤 t 값을 넣었더니 함숫값이 존재하지 않는다는건 저 극한식이 수렴하지 않아서 극한값이 존재하지 않는다는 뜻이고, 그 t값에 대하여 함수 g(t)는 정의되지 않는 것입니다.

이번 글은 여기서 마치겠습니다. 기회가 된다면 이를 응용해서 기출문제 풀이도 한번 올려보겠습니다.

마지막으로 PDF 자료 올려드립니다. 예제와 해설까지 넣어놨으니 천천히 읽어보면서 공부하시면 좋을거 같습니다!

앞으로 더 좋은 자료와 설명으로 찾아뵙겠습니다 :D

피드백, 오류 지적, 비판, 질문은 환영합니다~!

유익하셨다면, 자료 활용하신다면 댓글 한번씩 남겨주세용 ㅎㅎ

노력미래☆ · Accepted Answer

격년으로 수능날 살면서 처음 볼 법한 해괴한 극한이 튀어나오는 것 같아요

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