수학 칼럼) 식보다 그래프? (250921)
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안녕하세요!
오늘 다뤄볼 문제는 25학년도 9월 21번입니다.
당시 이 문제 때문에 말이 많았던 게 기억나네요.
이 문제는 수험생에게 중요한 메시지를 던지고 있습니다.
같이 살펴볼까요?
들어가기에 앞서, 문제를 처음 보는 분이라면,
먼저 풀어보시는 것을 추천합니다 :)
1. 문제 읽기
문제를 읽을 때는 목표와 할수있는것에 대해 생각해야 합니다.
문제에서 삼차함수 f(x)를 줬습니다.
최고차항 계수도 1이라고 줬네요.
밑에는 지금으로썬 알 수 없는 부등식이 나와 있습니다.
이 부등식을 어떻게 해석해야 할까요?
구하는 것은 도함수의 함수값 f'(3)입니다.
f(x)의 함수식을 구해서 미분하는 방법이 가장 먼저 떠오릅니다.
아니면 다른 방법으로 도함수를 구할 수 있을 수도 있겠네요.
문제에서 주어진 조건은 정체불명의 부등식밖에 없습니다.
이래저래 저 부등식으로 쇼부를 봐야겠네요.
정리하자면,
1) 목표: 도함수 구하기
2) 할수있는것: 부등식 해석하기
2. 처음 들었던 생각
문제를 풀기 위해서는 부등식을 해석해야 합니다.
저는 처음에 2가지 생각이 들었어요.
부등식의 등호가 언제 성립하는지 관찰하고,
가운데 
가 기울기인가? 라는 의심이죠.
일단 부등식의 등호가 언제 성립하는지 볼게요.
왼쪽 
과 오른쪽 
가 같아질 때를 보면,
k=-1 또는 k=-2일 때네요. k가 정수라는 조건에도 부합합니다.
k=-1을 대입하면 
,
k=-2를 대입하면 
가 됩니다.
3. 기울기??
가 기울기를 뜻하는 건가? 라는 생각이 들었습니다.
f(x)가 위 그림처럼 생겼다고 가정합시다.
위 그림처럼 두 점을 잡고 기울기를 구하면
가 나오죠?
근데 기울기를 구하려 했더니 난감합니다.
삼차함수 f(x)가 개형이 어떤지,
도함수 부호가 어떤지 등등 조건이 없네요.
음... 어떻게 해야 할까요?
4. 생각보다 간단한 풀이
사실 이 문제는 생각보다 간단히 풀립니다.
로 식을 잡고요,
을 대입해서 계산하면 c=-11,
을 계산하면 b=5/2가 나옵니다.
간단히 대입해서 계산만 하면 미정계수를 구할 수 있어요.
이므로
도함수를 구하면 
이네요.
이제 계산만 하면 됩니다.
5. 시사하는 점
풀이 자체는 간단합니다. 이미 여러 강사분들이 풀어 주셨죠.
다만 이 문제가 중요한 이유는,
를 기울기로 보는 게
이 문제에 한해서는 비효율적이라는 점입니다.
사실 수능판에 오래 있는 사람이라면,
를 보고 기울기라고 해석했을 거에요.
기울기가 주어졌으니 그래프를 그리고 싶은데,
그래프를 그리기에는 단서가 너무 없고...
그래서 이 문제가 중요합니다.
숨어있는 아이디어를 그래프로 찾아낼 수도 있지만,
때로는 그냥 계산하는 것이 훨씬 효율적인 경우가 있습니다.
많은 학생들이 함수 문제를 풀 때 그래프 위주로 접근합니다.
저도 대부분의 함수를 처음 보면,
'그래프를 그려볼까?' 라는 생각을 해요.
하지만 그렇다고 그래프에만 집중하면 안 됩니다.
6. 그래프 vs 식, 뭘 골라야 할까?
대부분의 함수 문제는 그래프가 유리한 경우가 많습니다.
저는 개인적으로 그래프 풀이를 좋아해서,
많은 학생들에게 그래프를 우선해서 생각하라고 말합니다.
하지만 그래프를 우선으로 생각하는 것과
오직 그래프만 생각하는 것은 다릅니다.
분명 계산으로만 풀 수 있는 문제도 많기 떄문이죠.
그래서 저의 결론은 다음과 같습니다.
1. 함수를 대할 때는 그래프가 유리한 경우가 많습니다.
2. 하지만 그래프를 그리기 난감하거나,
그래프 그리고 나서 뭘 해야 할 지 모를 때는
함수식을 가지고 계산해야 하나? 라는 생각을 해 보세요.
이렇게 생각한다면 놓친 부분을 캐치할 수 있을 겁니다.
궁금한 점 있으시면 댓글 달아주시면 성심껏 답변드릴게요!
부족한 글 끝까지 읽어주셔서 감사합니다!
도움이 되셨다면 좋아요, 댓글 부탁드립니다 :)
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이 문제도 기울기로 푸는게 빠르긴 한데
ebsi 해설도 평균변화율도 풀더라고요.
정확하진 않지만 김범준 선생님도 비슷했던것으로 기억합니다.
다만 대부분의 수험생이 시험장에서 떠올릴 수 있는지는 의문입니다.
발상의 난이도를 놓고 보면 식으로 푸는게 쉽고 빠르다는 게 제 의견입니다 :)
https://orbi.kr/00072263371
이분 풀이는 어떻게 보시나요
+ebsi 해설에는 본문처럼 푸는 방식이랑 적분을 이용한 풀이밖에 없던데요?
6번째 줄 글자가 해독이 잘 안되는데 ㅋㅋㅋ
미지수 a, b에 관한 식을 작성하신 것 같네요.
평균변화율-순간변화율 관계를 잘 쓰신 것 같아요.
다만 이차함수 g(x)의 최고차항이 나왔고,
두 점 (-1, -10), (-2, -12)를 알고 있으므로
그냥 대입하는 게 깔끔하지 않았을까? 하는 생각도 들어요.
https://www.ebsi.co.kr/ebs/lms/player/retrieveLmsPlayerHtml5Simple.ebs?sbjtapplyId=&medUrl=https://wdown.ebsi.co.kr/M41M2401/S20240000528/S20240000528_1M4_100030058241.mp4&sbjtId=S20240000528&lessonId=LS100030058241&lecGbn=V1M4&strStartTm=2800&pType=3
해설지 말고 해설강의입니다. 참고하시면 도움이 되실 거에요 :)
f(x)를 구하는 모든 풀이 중에서는 단순 대입이 가장 빠른 것 같네요