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제시린가드 [812809] · MS 2018 · 쪽지

2026-06-29 19:15:56
조회수 2,604

[칼럼] 삼차함수 보자마자 미분하는 사람은 꼭 보세요.

게시글 주소: https://orbi.kr/00078769464

안녕하세요 :)


현재 노베이스 학생들을 위한 수학 개념서 「아폴로 프로젝트」를 준비하고 있습니다.


오늘은 고1 때 배우는 함수 개념이 나중에 미적분에서 어떻게 쓰이는지에 대해 이야기해보려고 해요.


많은 학생들이 역함수를 공부할 때


정도로만 생각하고 넘어가는 경우가 많습니다.


쉬운 문제입니다. 아마 많은 학생들이 이렇게 생각할 겁니다.


“삼차함수네? 무지성 미분하자.”


이 문제의 핵심이 미분일까요?

이 문제의 진짜 핵심은 고1 때 배웠던 “역함수”와 “일대일대응”입니다.


 <일대일함수와 일대일대응>

완전히 이상적인 연애프로그램입니다.

남자 참가자들의 좋아하는 사람이 안 겹칩니다. 아까와는 달리 남녀 머릿수도 같네요.

이러면 도파민이 안 나와서 진짜 아무도 안 볼 것 같네요.


왼쪽이 좀 아까 배운 일대일함수입니다. 

중복 없이 대응하지만, Y집합, 즉 공역에 화살표를 못 받는 원소가 하나 있네요.


반면 오른쪽을 볼까요?

중복 없이 대응을 하고, 공역에 화살표를 못 받는 원소도 없네요.

이 이상적인 상황을 일대일대응이라고 합니다.

수학적으로 표현해 보겠습니다. 

일대일함수 중 공역과 치역이 같은 함수를 일대일대응이라고 합니다.


<역함수>

앞서 함수에 대한 설명을 할 때, 연애 프로그램에 빗대어 설명했었죠?

남자에서 여자에게 화살을 쐈던 걸로 함수에 대해 배웠습니다.

근데 이러면 반쪽자리 연애 프로그램이죠?

당연히 여자 참가자들의 마음도 중요합니다. 그래서 등장한 개념이 역함수입니다.


역함수는 쉽게 말하면,

입력값과 출력값을 바꾸어도 다시 함수가 되는 관계를 말합니다.


이제 다음과 같은 연애 매칭 상황을 생각해봅시다.

이상적으로는 모두가 한 명씩 짝이 맞으면 좋겠지만,


어딜 가나 인기가 많은 사람이 있기 마련입니다.


영숙이 남자 참가자 여러 명에게 선택을 받았네요.


그런데 역함수를 생각하면 이야기가 달라집니다.

역함수는 입력과 출력을 바꾸는 것이므로, 이제 영숙이 화살을 쏘게 됩니다.


영숙이는 여러 명에게 선택을 받은 상황이었죠?

입력과 출력을 바꾸면, 영숙이가 여러 명에게 동시에 화살을 쏘는 모양이 되어버립니다.


이건 함수의 정의에 어긋납니다. 

정의역의 원소 하나는 공역의 원소 하나에만 대응되어야 하기 때문입니다.

즉, 한 명이 화살을 세 발 쏘면 안 됩니다.


따라서 역함수가 존재하려면, 원래 함수에서 다음 두 가지가 모두 만족되어야 합니다.


첫째, 한 명에게 선택이 몰리면 안 됩니다.

둘째, 아무에게도 선택받지 못한 사람이 있으면 안 됩니다.


이 조건을 만족하는 함수가 일대일대응이죠?

그래서, 함수가 역함수를 가지려면 일대일대응이어야 합니다.



그럼 그래프에서는 어떻게 판단할 수 있을까요?

가장 쉬운 방법은 “가로선을 그어보는 것”입니다.

그래프와 모든 가로선이 한 점에서만 만난다면

그 함수는 일대일대응입니다.


이차함수를 생각해봅시다.


이 함수에이라는 가로선을 그으면, 두 점에서 만납니다.

이 문제에 적용해보면 이렇게 정리할 수 있습니다.


함수가 역함수를 가지려면, 먼저 일대일대응이어야 합니다.


그런데 함수가 증가했다가 감소하거나, 감소했다가 증가하면 어떻게 될까요?

그래프에 가로선을 그었을 때 두 점 이상에서 만나게 됩니다.



그러면 일대일대응이 깨지고, 역함수도 존재할 수 없습니다.

따라서 이 문제에서 주어진 함수가 역함수를 가지려면,


전체 구간에서 계속 증가하거나, 전체 구간에서 계속 감소해야 합니다.


주어진 함수는 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수입니다.


이 문제에 나온 함수는 삼차함수입니다.


삼차함수가 역함수를 가지려면 그래프가 중간에 꺾이면 안 됩니다.

가로선과 두 점에서 만나니까요.


주어진 함수는

이고, 최고차항의 계수가 양수입니다.


따라서 역함수를 가지려면 전체적으로 계속 증가하는 형태가 되어야 합니다.


이제 여기서 미분이 등장합니다.


함수가 계속 증가하려면, 극댓값이나 극솟값이 없어야 해요.

즉 도함수의 부호가 바뀌면 안 되고, 

도함수의 값이 모든 구간에서 0 이상이어야 합니다.


주어진 함수를 미분해서 도함수를 구하면


그러면 이 문제는 이렇게 바뀝니다.

이 부등식이 모든 실수 x에 대해 성립하도록 하는 정수 a의 개수를 구하라.


이차부등식 문제가 되었죠?

이차식이 모든 실수에서 0 이상이 되려면 판별식이 0 이하이면 됩니다.


따라서,

가능한 정수 a는 총 13개입니다.


<이 문제에서 진짜로 쓰인 개념>

실제로 문제를 풀 때 사용한 개념을 뜯어보면,


* 역함수

* 일대일대응

* 증가함수

* 이차부등식

* 판별식


이 대부분입니다.


미적분에서 새로 배운 내용은

사실상 도함수라는 도구 하나에 가깝습니다.


나머지 판단과 계산은 고1 때 배웠던 함수와 이차부등식이 담당하고 있습니다.


“고1 수학은 고1 때 끝나는 내용”

이렇게 생각하면 안 됩니다.


고1 때 배운 개념은 나중에 수1, 수2, 미적분 문제 안에서 계속 다시 등장합니다.


많은 학생들이 고2, 고3이 되면 
 당장 내신과 수능 범위에 들어가는 과목만 급하게 공부합니다.


그런데 기초 개념이 비어 있으면 이상한 곳에서 자꾸 막히게 됩니다.


분명 미적분을 공부하고 있는데, 막상 틀리는 이유는 고1 함수 개념 때문일 수 있습니다.

수학은, 앞에서 배운 개념이 뒤에서 계속 도구처럼 사용되기 때문이죠.


「아폴로 프로젝트」는 이런 문제의식에서 출발했습니다.


“이 개념이 왜 필요한지”

“이전에 배운 내용과 어떻게 연결되는지”


를 보여주는 책을 만들고 싶습니다.


읽어보시고 솔직한 의견 부탁드립니다.

댓글로 편하게 남겨주시면 감사하겠습니다 :)

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