칼럼12) 그릴 수 있으세요?!

미적분 칼럼을 막 써보고 싶지만... 고3분들은 3모에 집중하고 계실테니 오늘은 비교적 가벼운 주제를 가져왔습니다. 

아래 있는 함수 4개 중 몇 개나 "미분없이" 그릴 수 있는지 한 번 체크해보세요! 대부분이 기출된 함수입니다. 관련해서 알아두면 좋을 꿀팁들도 그 아래 적어뒀어요. (3번째 4번째는 꼭 확인해보셔요~...)

1. 

다음과 같은 느낌으로 그려집니다.

어떤 함수를 그릴 때, 근을 체크하는 게 최우선사항이죠. sinx가 0이 되는 곳과 x가 0이 되는 곳을 체크해줍니다. x=0에서는 근이 2개인 걸 알 수 있네요.

이 함수가 우함수인 것도 확인이 되어야 합니다. 기함수x기함수= 우함수니까요.

참고로 미분 가능한 우함수는 x=0에서 미분계수가 무조건 0입니다. 

아무튼 이렇게 근을 찍어낸 뒤에는 다음 정보를 통해 개형을 그려낼 수 있습니다. y=xsinx에서 sinx 부분은 x가 커져도 -1~1 범위의 값을 가지지만, x 부분은 점점 커지죠. 이에 따라 위 그림처럼 해당 구간마다 sinx가 확대된 느낌으로 그려주시면 되겠습니다. 

참고로 이 함수는 기출된 함수입니다.

그냥 수식으로 밀어붙여도 괜찮긴 하지만, 대충 어떻게 생겼는지를 그려냈다면 더 접근이 수월하지 않았을까 싶네요. 

답은 5번입니다. 풀어볼 분들은 풀어보셔요!

2. 

얘는 다음과 같이 그려집니다.

초록색 직선은 y=x입니다. 점근선이 y=x인 셈이죠. 

x가 양수일 때는 y=x보다 아래에서, x가 음수일 때는 y=x보다 위에서 접근할 겁니다. y=x- 1/x을 해석해보면 알 수 있죠. (x가 양수일 때는, x- 1/x은 x보다 살짝 작은 값을 가짐...과 같은 해석이요) 

한편 근이 1과 -1임도 알 수 있습니다.

3.

이 예시는 직선과 곡선의 차이함수를 그리는 법에 대해 얘기하고 싶어서 가져왔어요. 참고로 기출된 함수입니다.

답은 586입니다. 풀어볼 분들은 풀어보셔요!

아무튼 얘도 한 번 그려볼게요.

저는 개인적으로 직선과 곡선의 차이함수는 다음과 같이 그립니다. 일단 직선을 먼저 그린 뒤에

얘를 x축이라고 생각하고 곡선을 그립니다.

그러면 얘가 그리고자 한 함수가 됩니다.

저 상태에서 직선을 잡아다가 다시 수평으로 맞춰버리면...

그냥 lnx가 되는 셈이죠. 여기서 x축을 잡아다가 다시 다시 꺾으면...

아까 그린 것처럼 이렇게 되는거구요. 

(직선과 곡선이 둘 다 x절편이 1인 상황이라서 꺾어도 x절편은 변하지 않습니다. 원래 꺾었을 때 새로운 x절편은 기존 두 함수의 교점의 x좌표가 됩니다. 차이함수라고 생각하시면 됩니다.)

흠 근데 -1/10이라는 기울기가 드라마틱하지 않아서 뭔가 아쉽네요.

직선 기울기가 -1인 상황으로 바꿔서 설명을 이어가보겠습니다.

직선 y=-(x-1)이 x축이라고 생각하고 y=lnx를 그린겁니다. 이에 따라 그려진 주황색 함수는 y=lnx -(x-1)입니다. 

'y축 근처에 가서 왜 짤렸지?!'라 생각하실 수 있는데, 계속 아래로 떨어지는게 맞습니다. y절편은 존재하지 않아요! 그냥 y축과 너무 가까워서 저 프로그램이 표현을 못한 것 같네요.

원래 y=lnx는 기울기가 계속 0에 가까워지잖아요? 점점 x축과 평행해지는 느낌으로요. 그렇지만 점근선이 있지는 않죠. 

위에 그린 주황색 곡선 y=lnx -(x-1)는 x축이 직선 y=-(x-1)이라고 생각하고 그린 곡선이므로 기울기가 점점 -1에 가까워져야 합니다. 그렇지만 점근선이 있진 않아요. 

이는 차이함수 개념을 이용한 접근인데요, 이 예시 뿐만 아니라 폭넓게 사용됩니다. 나중에 한 번 깊게 다뤄볼게요.

추가해서 알아두면 좋을 점은 곡선에 직선을 더하거나 빼도 볼록성은 변하지 않는다는 사실입니다. 두 번 미분하면 일차항은 어차피 사라지기 때문이죠. 

4.

사실 이건 대놓고 '이거 그려봐라' 하진 못할 겁니다. 그렇지만 워낙 많이 나오는 함수라, 그냥 알고 계시는 걸 추천드려요. 관련해서 할 얘기가 두 개 정도 있습니다. 일단 그려보자면...

이런 느낌으로 그려져요. 

일단 x가 1보다 작은 부분에서는 음의 무한대로 가는게 자명하죠. 분모와 분자가 다 상황을 그렇게 만들고 있어요. 

x가 양의 무한대로 갈 때에는 log가 증가하는 속도보다 x가 증가하는 속도가 더 커서 0으로 수렴합니다. (이 함수가 출제된다면 이건 조건에 주어질 거에요. 아래처럼요)

그 뒤에 미분해서 극값을 찾아보면 x=e일 때 극대가 됨을 알 수 있습니다.

한편 다음 함수도 볼게요.

얘도 미분해서 극대인 x값을 찾아보면 x=e일 때입니다. 밑이 달라졌는데 극값이 계속 e에서 생기는게 신기하죠. 하지만 잘 생각해보면 당연함을 알 수 있습니다. 

사실 모든 로그함수는 닮음이에요! 상수배 했을 뿐이죠. 그래서

이 함수는 그냥

얘를 ln2 배 한 것에 불과합니다. 극대가 되는 x좌표가 변할리가 없어요.

한편, 

를 그리는 과정을 기울기로 해석해볼 수도 있습니다. 위 함수는 (0,0)과 (x,lnx)를 이은 직선의 기울기를 의미해요. 일단 y=lnx를 그려볼게요.

원점과 이 함수 위의 어느 한 점을 이은 기울기는 증가하다가, 감소하는 양상을 보이겠죠. 최대가 되는 지점은 원점에서 날린 직선이 lnx에 딱 접할 때입니다.

접점의 x좌표는 e이며, 이떄의 기울기는 1/e입니다. 

이걸 바로 구하는 법은 아래 링크에 나와있어요!

https://orbi.kr/00062374843

따라서 함수 

는 x=e일 때 극값 1/e를 가집니다.

이와 같이 식을 기울기로 해석하는 것도 종종 쓰입니다. 평가원에 나올 거 같진 않지만, 한 번 생각해볼 가치가 있는 아래 예시를 보실게요.

얘도 단위원 위의 점 (cosx.sinx)와 (-2,0)을 이은 직선의 기울기 함수로 해석한다면, 미분 없이 어디서 극값을 가지는지, 극값은 얼마인지, 개형은 어떻게 그려지는지 전부 알 수 있습니다. 

이게 한 주기에요! 

주기는 2파이, 

x=2파이/3 일 때 극대 1/루트3, 

x= 4파이/3 일 때 극소 -1/루트3 이겠네요. 

특수각 발견하시면 계산 없이 끝납니다!

준비한 내용은 여기까지입니다. 다음에 또 좋은 칼럼과 자작문제로 찾아뵙겠습니다. 좋아요와 팔로우 부탁드리고,

고3분들은 3월 모의고사 파이팅하셔요!!