칼럼10) 소소한 테크닉
게시글 주소: https://orbi.kr/00062374843
나름 알려진 편이고, 은근히 유용하며 개념적으로도 의미가 있는 '소소한' 테크닉 하나를 소개해드릴까 합니다.
이미 알고계신 것도 있을 거고, 아마 처음보는 것도 있을거에요!
이는 e^x의 재밌는 특징에서 시작됩니다.
y=e^x는 도함수가 e^x이죠. 원함수와 도함수가 식이 같다는 겁니다. 즉, 원함수의 함숫값이 그 점에서의 미분계수인 셈이죠. x=a에서 함숫값은 e^a, 미분계수도 e^a일겁니다.
기울기가 e^a라는 것은, x축으로 1 이동할 때 y축으로 e^a만큼 이동한다는 뜻이죠. 그런데 마침 이 지수함수 위의 점(a,e^a)는 함숫값이 e^a네요.
여기서 다음 사실을 알아낼 수 있습니다.
e^x 위에 점 (a, e^a)에서의 접선은 x절편이 a-1이겠네요!
이걸 뒤집어서 말하면, (b,0)에서 y=e^x로 접선을 그으면 접점은 x좌표가 b+1인 곳에서 생긴다는 겁니다. 기울기는 e^(b+1)이 되는 것이구요.
y=e^x 뿐만 아니라 얘가 평행이동되었을 때도 마찬가지입니다. 그 함수의 점근선 위의 점에서 접선을 날렸을 때 접점은 x좌표가 1 큰 곳에서 생깁니다.
아래 문제에 적용해보겠습니다.
기출 문항입니다. 이미 다들 잘 알고 계실 것 같습니다.
최대인 순간은 바로 나오지 않아서 계산을 좀 해줘야 하지만, 최소인 순간은 분명하죠. 기울기인 양수 a가 최대인 순간과 y절편인 음수 b가 최소인 순간이 일치하는데, 다음과 같이 양쪽에 동시에 접할 때입니다.
(그림 출처: ebs)
일단 대칭에 의해 x절편이 3/2인 걸 캐치한 상황에서, 접한다는 정보를 이용해 a를 구해야 합니다. 이때 앞서 알려드린 소소한 테크닉을 이용해볼게요. 그림에서 표시된 t가 3/2보다 1만큼 큰 5/2겠죠. x=5/2일 때 f(x)의 함숫값은 루트 e입니다. 따라서 이 순간에 a는 루트e네요.
물론 s를 이용해서 구하셔도 됩니다. s의 경우에는 x좌표가 1/2이 되겠죠. g(1/2)= -루트e니까 기울기는 루트e여야겠지요. (g(x)는 아래로 그려진 상황이니까 -부호를 빼줘야 합니다.)
어찌됐건 직선을 이렇게 완성할 수 있겠습니다. 훨씬 간편하죠!
평행이동뿐만 아니라 확대축소됐을 때에도 이런 정보를 뽑아낼 수 있습니다.
이 함수의 경우에는 x축 위에 (a,0)에서 접선을 날렸을 때, 그보다 x좌표가 1/5만큼 큰
이 점에서 접점이 생기겠죠. 함수가 5배 축소되었으니 앞서 말씀드린 1차이난다는 경향성도 5배 축소하여 1/5이 되었다고 생각하시면 되겠습니다. 주의할 점이 있다면, 이때는 미분계수도 5배를 해줘야 하겠네요. 그래서 식을
다음과 같이 써낼 수 있습니다. 근데 이건 실수 가능성도 있어보이니(???: 아 ㅆ 5배 안했다) 이건 검토용으로 사용하시면 좋을 것 같습니다.
이 특징은 y= lnx 에서도 당연히 읽어낼 수 있겠죠. 대신 1 차이 난다는게 x축이 아니라 y축의 얘기로 바뀝니다.
e의 x승 놈을 뒤집은 거로 봐도 괜찮고, lnx의 도함수가 1/x이란 것에 착안하여 기울기 해석을 하셔도 됩니다. (기울기가 1/m라는 것은, x축으로 m 증가할 때 y축으로 1 증가한다는 뜻!)
한편, 다음과 같은 의문이 드실 수 있습니다. "왜 하필 e^x에서만?"
적절한 의문이죠. 사실 이 얘기는 모든 지수함수에 대해 가능합니다.
얘도 원함수와 도함수가 상수배 차이나는 꼴이므로 다음 정보를 이끌어낼 수 있습니다.
a=e일 때는 저 차이가 1이 되었던 거죠.
준비한 내용은 여기까지입니다. 원함수와 도함수가 관계되어있다는 지수함수의 성질을 이용한 재밌는 해석이었다고 생각합니다. 앞으로도 재밌는 칼럼과 자작문제 많이 보여드리겠습니다. 유익했다면 좋아요 부탁드리고, 팔로우 해두셔서 꼭 확인해보세요!
0 XDK (+1,000)
-
1,000
-
우선 고객센터에 교재도 샀는데 듣게해주시면 안될까요ㅠㅠㅠㅠ하면서 찡찡대는 글 쓰긴 했는데 제발
-
그냥 비기너스 강의를 죄다 내리면ㅠㅠㅠㅠㅠㅠ 대성 고객센터에 문의해볼까..
-
얼버기 2
침대에서 안 벗어나는 중
-
23, 24학년도 수능은 응시 안 함 수능 1등급만을 서술 25학년도 수능 백분위...
-
안녕하세요 '지구과학 최단기간 고정 1등급만들기' 저자 발로탱이입니다. 지난 1년간...
-
그냥 안하려고 했는데 작수 미적이 ㅈ같기도 했고 원래부터 도형을 상당히 좋아했던...
-
뭐지 이 찝찝한
-
아 씨 자고 있었는데
-
아 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 상대평가라고요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
도도가 23 화1 5분 물1 10분 남겼고 고정 적백이었는데 이번 영상에서 물2...
-
강기본 다 들었는데 바로 강기분 들어가도될까요 아님 혼자 매3비매3문같은거 계속...
-
안녕하세요, 디시 수갤·빡갤 등지에서 활동하는 무명의 국어 강사입니다. 오늘은...
-
반포 래미안 원베일리 40평대 초반에 사는 친구 있는데 2
금수저임? 시골츙이라서 모르겠네
-
혀녁 때 사문 열심히 해서 내신도 1받고 모고도 웬만하면 1떴는데 수능날...
-
오늘 몇문제나 풀수있을까
-
뉴런 수강 질문 1
고3이고 방학때 ㅅㅂ점이,개념원리 2회독 한 상태인데 여기서 자이 한번 풀고...
-
얼버불 2
-
장난하나
-
이과생이었고 사탐 배워본 적 없고 작수 3,2 떴습니다.. 국수에 시간 투자를 많이...
-
오늘 하루도...힘 내야지...
-
술 먹고 1
지금 기어들어가기
-
뭐가더 빡셈
-
몰래 회동했었는데
-
참 슬퍼 ㅠ
-
사탐 문외한이어서 몇분에게 조언 구했는데(감사합니다..) 결론적으로는, 제가 목표로...
-
어른이셔서 잘 해결된거같아 좋네요
-
오르비 잘자요 0
코코낸내
-
사탐을 하게되면 쌍사밖에 생각 없는데 작년처럼 나오는게 운이 좋은거기도 하고 올해는...
-
지금 비옴 0
-
안녕하세요 제목 그대로인 노베이스에서 재수 한다고 마음 먹고 하고 있습니다 ....
-
아조시가 학생들 노는데서 놀기 좀 그렇자너
-
졸려 자러가야지 1
바이바이 잘자요
-
한완기 수학1 미개봉 팝니다. 반택포 2.3입니다. 중고나라,번개장터에서 거래 가능합니다.
-
가끔 저를 그냥 팔로우 하시는 분들은 무엇..?
-
똥에서 설사가는느낌이지만 지2는 수능날 모르면50분을줘도 못푸는과목이라 화1갑니다...
-
다자는구나 4
내소중한오르비가,,,
-
잘자여 1
~~
-
의사선생님들 10
저 어렸을때부터 숨쉬면 심장이 자주 아팠는데 이유가 뭘까요 지금도 아픔 바늘로 찌르는 느낌
-
[소개 및 성적인증] https://orbi.kr/00071877183 안녕하세요...
-
그럼 Deers are jumping in the Kwanak mountain. 임?
-
한 35쯤에 요절하겠지 건강도 안좋아서
-
지금처럼 누워만있을까 ㅋㅋ
-
메리 솔크입니다~
-
아 쪽팔려 6
하 왜물어봤지
오늘도 개ㅊ를 벅벅
오우쉣
ㄷㄷ
무슨 말인지 이해 못하는 문돌이들 개추 ㅋㅋㅋ
무민귀여워요
으악 미적이다
으악악
아니 ㅅㅂ 이게 뭐지.,?