칼럼2) 아마 당신이 처음 보는 수열 합 구하는 방법
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이유는 제가 만들었기 때문이죠
이미 알고 계신 분들이 있을수도 있는데, 제목이 너무 무례하게는 안 보였으면 좋겠습니다.
등차수열과 관련해서 알아야 할 것이 세 개가 있습니다.
1. an 자체의 성질
2. an 과 Sn 의 관계
3. Sn 자체의 성질
1,2,3 번은 각각 칼럼으로 작성될 것이며, 이번 칼럼은 그 중
2. an 과 Sn 의 관계를 다룹니다.
수식적으로, 기하적으로 각각 접근해보겠습니다.
(1) 수식적 접근
an 과 Sn 의 관계를 다룰 때 기초가 되는 것은 둘을 변환하는 일입니다. an 이 주어졌을 때 Sn 으로 '쉽게' 변환할 수 있어야 하고, 그 역도 마찬가지입니다. 이때 '약간 미분', '약간 적분'을 사용하시는 분들도 있는데, 더 효율적인 방법을 여기서 소개해드릴까 합니다. 예시를 통해 방법을 알려드리겠습니다.
Question. an = 6n+4 일 때 Sn 을 구하라.
step1 적분 (적분상수 0)
6n+4 > 3n2+4n
step2 최고차항 계수를 뒤에 n의 계수에 더함
3n2+4n > 3n2+(4+3)n = 3n2+7n
이렇게 구한 3n2+7n이 Sn입니다.
Sn 에서 an 으로 갈 때에는 그 역과정을 실행해주면 됩니다.
Question. Sn = 7n2 + 3n일 때 an 을 구하라.
step1 최고차항 계수를 뒤에 n의 계수에서 뺌
7n2 + 3n > 7n2 + (3-7)n = 7n2 - 4n
step2 미분
7n2 - 4n > 14n - 4
앞서 했던 것의 정확히 역과정이죠. 이렇게 구한 14n - 4가 an입니다.
모든 Sn 과 an 에 대해 방금 알려드린 내용이 성립합니다. 최고차항 계수가 양수든 음수든 an 이 0을 어디서 갖든 뭐 모든 요소와 관계없이 등차수열이기만 하다면 말이죠.
이 과정을 수식적으로 표현하면
이하 편의상 무민공식 ㅎㅅㅎ
이 됩니다. 근데 이렇게 외우진 마시고 앞서 알려드린 '과정'으로 이 방법을 외우시는게 훨씬 나을겁니다.
참고로 증명은 간단합니다. an = dn+a (d는 공차, a는 상수) 잡고 저 공식에 넣어보시면 성립한다는 걸 알 수 있습니다. 단순 계산이므로 여기선 생략하겠습니다.
여기까지 읽으셨다면 둘 사이의 관계를 변환하는 건 편하게 하실 겁니다. 이 무민공식(?)에서 한 가지만 더 건지고 가겠습니다.
an 을 적분한 이차함수의 꼭짓점은 an 이 0을 지나는 점과 같습니다. 그런데 적분함수에 nd/2만큼을 더해주었으므로, Sn의 꼭짓점은 적분함수의 꼭짓점, 즉 an 이 0을 지나는 점과는 x좌표가 다릅니다. 재밌는 점은 이 모든게 n과 d로 표현되기에 계산을 통해 정확히 얼마만큼 차이나는지를 구할 수 있다는 것입니다. 역시 단순 계산이므로 결과만 알려드리자면
an 이 0을 지나는 점 - 1/2=Sn의 꼭짓점 x좌표
입니다. 알 사람은 안다는 꽤나 유명한 관계인데요, 은근히 유용하므로 알아두시면 좋을 것 같습니다.
참고로 증명과정이 의미가 있으면 제가 증명을 해드리고 넘어갈텐데, 이번처럼 그닥 의미가 없으면 앞으로도 생략할 예정입니다.
이제 기하적인 접근으로 넘어가겠습니다.
다만 기하적인 게 재미는 있지만 수능 공부에 막 도움이 되는건 아니라서, 수험생분들은 그냥 넘어가셔도 좋습니다.
그리고 제가 좀 옛날에 쓴거라 가독성 안 좋게 썼어요.. ㅋㅋ
(2) 기하적 접근
Sn 과 an 을 한 평면에 나타내어 보겠습니다.
원래 Sn 과 an 은 n이 자연수일 때 정의되는데요, 여기서는 n의 범위를 실수 전체로 늘리겠습니다.
또, an 의 공차가 양수이고 x절편이 1/2이 아닌 경우를 다루겠습니다. (1/2인 경우를 제외한 이유는 곧 나옴.)
공차가 음수인 경우는 그냥 위 그림을 뒤집으면 되기 때문에, 음수인 경우도 포함하고 있다고 봐도 무방합니다. (대신 공차가 0인 경우는 안 됩니다. 그땐 Sn 도 이차함수가 아니라 일차함수가 되겠죠.)
Sn은 반드시 x축과 두 번 만나는데요, 두 교점은 그림처럼 A, C라 하겠습니다.
"이차함수니까 x축과 안 만날수도 있는거 아닌가?" 라고 생각하실 수도 있는데, 결론부터 얘기하자면 아닙니다.
Sn이 그냥 이차함수가 아니라 an 과 연관된 함수이기 때문인데요, 위에 무민공식을 보시면
S0 = 0이 늘 성립합니다. 그래서 최소 한 번은 x축과 만나게 됩니다.
"그럼 Sn이 0에서 중근을 가지는 바람에 한 번만 x축과 만날수도 있는거 아닌가?" 라는 합당한 의심이 들 수 있는데요, 그 경우에는 an 의 x절편이 1/2이 됩니다. 중근인 이 경우를 제외하고자 일부러 이 케이스를 뺐는데요, 이에 대해서는 뒤에서 자세히 다루겠습니다.
한편, Sn 과 an 은 반드시 2개의 교점을 가집니다. 증명을 위해 둘을 연립해보겠습니다.
Sn - an = Sn-1 이고, Sn-1은 Sn을 오른쪽으로 1만큼 평행이동한 함수입니다. Sn이 x축과 두 번 만나기 때문에 Sn-1도 x축과 두 번 만나고, 그 뜻은 Sn 과 an 이 반드시 두 번 만난다는 뜻입니다.
Sn 과 an 의 교점을 그림처럼 B, D라 하겠습니다.
B에서 Sn 과 an 의 함숫값이 같다는 것인데요, B의 x 좌표를 k라 해봅시다.
Sk = ak, Sk - ak = Sk-1 =0
A의 x좌표가 k-1임을 의미합니다. (위에 있는 그림을 참고하세요) 즉 점 A와 점 B는 x좌표 1만큼 차이납니다.
같은 원리로 C와 D의 x좌표가 1만큼 차이납니다. (엄밀히 하려면 B 증명할 때와는 달리 d의 경우에는 한 단계 더 거쳐야 하긴 하는데 뭐 그냥 받아들이셔도 됩니다 어차피 맞는 말이에요)
이때 앞서말했듯 S0 = 0이 늘 성립하는데요, 점 A와 C 중 하나가 원점임을 의미합니다. 이는 점 B와 D 중 하나가 x좌표가 1임을 의미하기도 합니다. (S1 = a1, 당연하죠!)
위에서 강조한
an 이 0을 지나는 점-1/2=Sn의 꼭짓점 x좌표
도 여기에 표현할 수 있는데요, A와 C의 중점과 an이 0을 지나는 점이 x좌표가 1/2만큼 차이날 겁니다. an 이 0을 지나는 점이 더 오른쪽에 있겠죠.
시각적으로 이 관계를 기억하고 계시는 게 좋을 것 같습니다.
더 깊게 간다면 얼마든지 깊게 갈 수 있는데, 수능에 도움될 만한건 여기까지 인 것 같습니다. 수요가 있다면 다음에 더 깊게도 써볼게요.
(+수정) 더 깊게 쓴 칼럼도 나왔어요!
Sn 과 an 의 관계 자체가 문제의 주제가 되지는 않습니다.
위에서 말씀드린
1. an 자체의 성질
2. an 과 Sn 의 관계
3. Sn 자체의 성질
중 1번과 3번이 문제의 주제가 되며, 2번은 중간과정 역할 정도입니다. 예를 들어
Sn 자체의 성질을 묻는 문제에서 중간 과정에 an 과 Sn 의 관계를 사용해야 하는거죠.
S1 = a1 임을 사용하던가, an 과 Sn 식을 변환해주어야 하는 식으로 2번 개념이 사용될 거에요.
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헛 저런방법이 있었다니
유용할거에요 ㅎㅎ
살미살적?
이 아닌 다른 방법!
ㅋㅋㅋ 저도 보다가
어? 이거 살미 살적 아닌가? 싶었네요 ㅋㅋㅋ ㅜㅜ
GOAT
ㄷㄷ
과외할 때 가르쳤던 내용이네요~
이런 내용이 있다 하고 짚어줬던 그런 내용들..
헉 알려진 거였군요
배쌤 강의에서 봤던거ㅎㅎ 신세계였죠
와 저랑 같아요 ㅠㅠ 첨봄
반대로 Sn에서 an을 구할때는 n은 2부터 라는 가정이 필요합니다. 물론 예시와 같이 Sn에 상수항이 없을 경우에는 n은 1부터 성립하지만, 상수항이 있을 경우에는 an이 n=1부터 성립하지 않습니다..!
상수항이 있으면 애초에 등차수열이 아니라서 본문 내용이 맞는 말 아닌가요 ??
본문은 등차수열인 경우만 다루고 있으니까요
아 그건 아니에요 보통 '등차수열 문제'라고 하면 '등차'의 꼴이 있으면 되거든요
상수항이 있는 경우에서 실수를 많이 한답니당
아 그리고 항상 물리 잘 보고 있습니다^^ 나중에 저 06년생 공부일지에 물리도 쓸건데요 혹시 시간 되시면 봐주세용 ㅠㅠ 물리 시간 내에 푸는게 어려워서오....
상대성이랑 열역학도 이상하게 헷갈리구요...
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/006.gif)
의견 감사합니다 ㅎㅎ사용하기 전에 등차수열인지 아닌지 확인은 필수겠죠!
다만 저는 등차수열인 경우를 다루고 있는지라 그에 대한 다른 언급은 하지 않았습니다
엇 본문에 대한 반박?이 아니었어요 ㅋㅋㅋㅋㅎ 그냥 알고 있던 내용이라 이 내용도 다른 분들이 아시면 좋을 것 같아 추가로 더 적어본거랍니다..! 제가 오해하기 쉽게 적어놨네요! 글 잘 읽었습니다
뭐 엄밀히 말하면 라리가 님의 말씀이 맞겟죠???
근데 상수항이 있는 경우가 더 빈번해서요
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/030.gif)
선생님 저 혹시 저번 지수 문제처럼 사용되는 지수 로그 함수 대칭에 대해서 설명하시는 칼럼 좀 작성해주실 수 있을까요??ㅠㅠ 제가 대칭이 이해가 너무 힘들어서요다음 칼럼 주제는 지수로그 함수의 대칭으로 하겠습니다 ㅎㅎ
https://orbi.kr/00062039768 요청하신 칼럼 링크는 여깄어요!
잘봤습니다. 근데 1번 방법인 an을 Sn으로 변형시키는건 아무때나 사용해도 되는건가요?
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/dangi/035.png)
네! 항상 성립합니다. 어떻게 주어져도 말이죠문제를 풀다가 이 공식을 쓰니 너무 빨리 답이 도출되는데 이게 맞는건지 모르겠네요...
문제가 지향하는 풀이법을 다 건너뛴 느낌이라... 항상 감사합니다 감사합니다!
문제가 지향하는 변환 과정은 아마도 등차수열 합공식일건데요, 그거 너무 귀찮잖아요 ㅡㅡ
그래서 만들어봤습니다 ㅎㅎ
-1/2아닌가요?
어느 부분이요??
혹시 말씀하신게 an이 x축과 만나는 점의 x좌표+1/2=sn의 대칭축의 x좌표인가요?
넵 그렇게 써있는데?!
어뭐지..그럼 -1/2인것같은디..
그렇네요 좀 있다 수정 글 올리겠습니다.
알려주셔서 감사합니다
아마 단순 실수 같네요 글 내용은 유익했습니다 가끔 챙겨보고 있어요 ㅎㅎ
넵 감사합니다 ㅎㅎ
수정사항 글은 아래 링크입니다
https://orbi.kr/00061860931
Sn이 삼차식일때도 비슷하게 하면되나요?
Sn이 삼차식이면 일단 an은 등차수열이 아니라 이차식이 됩니다.
이 경우, 혹은 이보다 차수가 큰 경우에는 시그마의 관점으로 해석하는 걸 추천합니다.
예를 들어 볼게요.
an=5n^2 + 4n이라 하면 Sn= 5시그마 n^2+ 4시그마 n이 되겠죠.
an에서 4n에 해당하는 부분은 본문에서 말씀드린대로 처리하면 되는데, n^2 부분이 문제가 되겠죠. 이때 시그마로 접근을 해보면 n제곱 역시 쉽게 일반화할 수 있습니다.
n제곱을 적분하면 1/3 n세제곱
시그마 n제곱=n세제곱 /3 + n제곱 /2 + n/6 (알고 계시는 그 식 전개한거에요)
an이 이차식인 경우에 Sn을 도출하는 방식을 일반화를 해보자면,
an의 일차 이하의 부분은 등차수열 다루듯이 Sn 구하고, 이차 부분은 적분한 뒤에 n제곱 /2 + n/6에다가 이차항의 계수까지 곱해줘서 구하면 되겠네요.
그 다음 구한 두 개를 더하구요.
방금 든 예시의 경우 계수가 5니까 5n제곱 /2 + 5n/6을 더하면 되구요.
근데 이 방법은 딱히 이점이 없습니다. 그냥 시그마 쓰는게 빠르죠. 그래서 an이 이차 이상일 때부터는 그냥 시그마 쓰시는게 나을거에요 ㅎㅎ
헉 정성스러운 답변 감사합니다!!
삼차식이상일때는 시그마쓰는게 낫겠네요 ㅠㅠ