칼럼3) 1/2 차이
게시글 주소: https://orbi.kr/00061860931
[이 칼럼은 수능 공부에 큰 도움이 되지는 않습니다.
등차수열의 합 Sn에 대해 깊게 탐구한 글인데요,
관심 있는 분이 아니라면 다른 칼럼 보러 넘어가세요.]
이 칼럼은
위 칼럼의 속편입니다.
이번 칼럼의 목적은
Sn의 꼭짓점과 an의 x절편이 1/2만큼 차이나는 이유를 기하적으로 설명하는 것입니다.
우선 앞선 칼럼에서 두 가지 정보를 확인해놓았습니다.
1. Sn은 반드시 x축과 두 번 만난다.
2. Sn과 an은 반드시 2개의 교점을 가진다.
이때 언급한 조건이 있었죠?
an의 공차가 양수이고 an의 x절편이 1/2이 아닌 경우를 다루겠다고 했는데,
공차 양수는 별 의미 없이 편의상 정해둔 것이구요
잠시 x절편이 1/2이 아니어야 하는 이유를 간단하게 짚고 넘어가겠습니다.
이 글 맨 위에 있는 공식에 의해 an의 x절편이 1/2이라면 Sn의 꼭짓점의 x좌표가 0이 되는데, S0 = 0이므로 0에서 중근을 가져버립니다. x축과 한 번만 만나는 것이지요. 1번 "Sn은 반드시 x축과 두 번 만난다." 에 위배됩니다.
아무튼 1,2번을 만족하게끔 그림을 그려보겠습니다.
일단 Sn입니다.
Sn의 두 근을 0, 2k라 하겠습니다. 일단 k를 양수라 가정할게요. 즉 왼쪽 근이 0인 것이죠.
Sn의 꼭짓점의 x좌표는 k가 될 것입니다. 그 점에서 미분계수는 0입니다.
여기에 an, 그리고 Sn과 an 의 두 교점 B, D도 표시해보겠습니다.
B의 x좌표는 1, D의 x좌표는 2k+1이 됩니다. (앞 칼럼에서 그 이유를 다룸)
점 B와 D의 중점의 x좌표는 k+1인데요, 함수 Sn 위의 점 (k+1,Sk+1)을 찍어보겠습니다.
점 (k+1,Sk+1)에서 접선도 그려보았는데요, 이 접선의 기울기는 an의 공차 d일 것입니다.
아래 이차함수 성질에 의해서 말이죠!
(이차함수의 유명한 성질)
다시 원래의 그림으로 돌아가서
x좌표가 k일 때 미분계수가 0, 그리고 x좌표가 k+1일 때 미분계수가 d라는 것은,
x좌표가 k+1/2 일 때는 미분계수가 d/2임을 의미합니다.
한편, 점 O(원점) 과 점 D의 중점의 x좌표가 k+1/2입니다.
이런 상황인거죠. 그럼 점 O(원점) 과 점 D를 이은 직선의 기울기가 d/2라고 말할 수 있겠죠. 아까 써먹은 이차함수의 성질을 역으로 이용한 겁니다.
지금까지 찾은 것들 중 필요한 것들만 따로 그려보겠습니다.
표시한 두 직선은 직선 OD와 an인데요, 둘은 기울기가 각각 d/2, d라서 딱 2배차이 납니다.
기울기가 2배차이라는 것을 다음과 같이 인식할 수도 있습니다.
그림에 표시한 빨간 직선은 점 D와 x축을 수직으로 이은 것인데요, 기울기가 d/2인 직선은 빨간 직선만큼을 올라가는데 x좌표로 2k+1만큼 가야 했으니(점 D의 x좌표가 2k+1입니다.) 그보다 기울기가 2배인 an은 2k+1의 반인 k+1/2만큼만 가면 빨간 직선만큼 올라갈 수 있을 것입니다. 즉, an이 0을 지나는 점이 k+1/2인 셈이지요.
한편 이차함수의 꼭짓점은 x좌표가 k였으므로,
이라 할 수 있겠습니다. an이 0을 지나는 점이 더 오른쪽에 있는 셈이지요.
방금까지 이를 기하적으로 보인 겁니다.
준비한 내용은 여기까지입니다.
이 칼럼은 생각할 거리 하나를 던지며 마치겠습니다.
첫 번째의 경우 y=k가 0을 지나는 지점과, 그 옆에 시그마 결과값인 이차함수 y=n(n+1)/2의 꼭짓점은 x좌표가 1/2 차이입니다.
두 번째의 경우, y=k2이 0을 지나는 지점과, 그 옆에 시그마 결과값인 삼차함수 y=n(n+1)(2n+1)/6의 변곡점은 x좌표가 1/2 차이입니다.
세 번째의 경우, y=k3이 0을 지나는 지점과, 그 옆에 시그마 결과값인 사차함수 y={n(n+1)/2}2의 극대점은 x좌표가 1/2차이입니다.
다항식으로 표현되는 일반항과 수열의 합 사이에서 1/2이 뭔가 의미를 가진걸까요? 가졌다면 어떤 의미이며, 왜 하필 1/2일까요? 혹시 수열의 간격이 1인 것과 연관이 있진 않을까요?
생각해볼만한 주제입니다.
전 다음에 더 좋은 글로 찾아뵙겠습니다
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
미적분 질문 4
삼각형ABC 높이로 식 세운건데 답은 1인데 왜 5/8가 나올까요 모순이...
-
다들 본인 명의의 히든카 이스? 전 히든 카 없어요 뚜벅이라
-
오늘도 확통 공부해야지 12
저도 통통이임~!!
-
열심히 해서 꼭 국립대 들어가야지... 장학금은 힘들어도 과외 정도는 할 수 있을 것 같음
-
채무자한테 "너 돈까스"라고 말한다네요 사람 보고 돈까스라니 에구머니나... 주말 공부는 힘들어 ㅠ
-
밥을 먹으러 도곡로 505 태성빌딩 지하5층으로 내려가면 5
식사 제공 업체가 급식을 제공하는 모습을 볼 수 있다. 이때 식사 제공 업체의...
-
러셀 증후군 0
요통 치통 두통 코막힘 기침 가래 몸살 발열 등등 집오면 완치됨 ㅋㅋ
-
수명치환 2
여러분은 1년당 수능점수 1점을 올릴 수 있다고 하면 몇년까지 갈아넣을 생각인가요?...
-
학창시절 남들이 피터지게 공부할 때 남돌 빠순이짓하고 커뮤 뛰고 비엘이나 쳐보면서...
-
약대생 : 한약학과 약국개설 가능하고 잘사는 학생들이 많이 가는과 0
라는 인터뷰가 올라왔네요
-
국어 실모 ㅊㅊ 0
지금 이감 연간, 강k 5회부터 쭉 한수 파이널 있는데 한수 파이널 주간지 중간중간...
-
전문직... 2
입니다 수문장 이라고도 하죠...
-
그게 뭔데?이 게임에서 제가 이기면 탕후루 사주는 거에요~뭐 또야?쿵쿵따리 쿵쿵따~...
-
떴다 2
윤하 7집 9월 1일
-
층에 살고 싶어서 열심히 살아보려 해 오늘도 하루를 멋지게 보내자
-
노베반수생6일차 4
D-89 90일 깨졌다ㄷㄷㄷㄷㄷㄷ
-
결정력 ㄹㅇ 개트롤이네 진짜
-
이거 공포 못 버림 아마 내가 답을 분자 2차이로 47인가 쳐적었는데 물론 지금은...
-
얼버기 및 조언 0
인생에 너무 과몰입하지 마셈. 어차피 살아서 나갈 수 없는 게임이라는 것을 명심해야...
-
확통 91 84 74 미적 81 73 63 기하 88 78 68 이지랄남? 이러면...
-
구의원이 술 되팔이 ㅋㅋㅋㅋ
-
더워요... 1
잠을 못자겠네
-
거의 2년 다 됐네 마지막수능 수능이 도파민 맛 오졌는데 ㄹㅇ ㅋㅋ 대학 오고 나선...
-
여러분들 강해린씨 보면서 힐링하세요~=
-
나는 그냥 인서울 이미 N=2인데 N수 더 박는게 의미가 있을까 모르겠네
-
낼부턴 1시안에 자야....
-
장문 고민글) 연대생인데. 지금 반수 시작해도 괜찮을까요? 2
어차피 내년에 군대 가야하고... 공군 자격증 이것 저것 따고, 그동안 못 놀던거...
-
안자는분 있? 3
전 입시 탈덕해서 안자도 되긴한데
-
내일도 해야지
-
6평은 찍맞 없이 중간 4등급? 정도 됨 백분위 78 ~ 80 낮3 목표라 기출...
-
꼬기인데 1
안츄ㅣ했음
-
어디까지되나유 국어 2중반 확통 1컷 사문세지
-
오늘의 마무리곡
-
댄동들어갈건데 2
남친은 저보고 춤이 흐뮬흐물이라고하고 여동생은 삐걱삐걱이라는데 어디에 장단을 맞춰야하져?
-
뭔가 취미로 공부해볼만한 거 없으려나 듀오링고라도 했어야됐는데
-
6개월이내에 찍은거로 안했는데 이거 탈락하려나
-
실제로 확통 96 맞기랑 미적 84 맞기랑 비슷한 난이도인 느낌임? 그정도로 확통문제가 쉽게 나옴?
-
환청 0
고고학으로고고혓 진짜좋아요한입만드셔보세요
-
슈바오가 떴다 0
헤으으응
-
츨제한사람 만나보고싶네
-
돌아와 바오 1
엉엉
-
낭만은그리쉽지않아요~
-
이래서 얼터네이브를 내가 못 끊어..
-
히히똥발싸 2
히히히히
-
왜이리 춥냐 1
에어컨도 안틀었는데... 몸도 뭔가 저린 느낌... 무슨 문제 있나
-
과목의 유형당 어려운 부분이 있는데 그 부분이 물2에선 두날개가 좋을줄 알았으나...
-
괜찮아 듣다가 드랍했는데 인스타가 좀 어지럽네 왜저리됨..?
-
ㅈㄱㄴ
믿고보는무민쓰
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/006.gif)
헉 이런 칭호라니 감사해요 ㅎㅎ무민님..
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/034.gif)
또 오셨네요!! 반가워요![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/005.gif)
무민추