수리논술 문제해결 노하우 (2-2; 문제 해결의 아이디어 찾기)

Question

안녕하세요! 이번 글에선 저번에 이어 수리논술 문제해결 노하우 두 번째 주제, 문제를 해결하기 위한 아이디어를 찾는 방법 몇 가지에 대해서 설명하겠습니다. 수학 문제를 풀다 보면, 예를 들어 어떤 명제를 증명하라 했을 때 아무리 생각해도 증명 방법을 못 찾는 경우가 많지요. 그리고 답지를 보거나 풀이를 들으면 이해는 가지만 ‘와, 이런 풀이를 어떻게 생각하지’라고 생각했던 경험이 수리논술을 준비하는 학생이라면 다들 한 번씩은 있을 것이라고 생각합니다.

그러나 답지에 있는 풀이는 말 그대로 문제에 대한 풀이만 있는 것이지, 아이디어를 찾는 과정이나 생각하는 방법들은 나와 있지 않습니다. 따라서 그러한 부분은 수리논술 강의나 교재 등에서, 혹은 문제를 풀어본 수많은 경험에서 익혀야 하는 것입니다. 제가 준비한 아이디어를 찾는 과정이나 생각하는 방법들은 다음과 같은 4가지입니다.

1. 뒤에서부터 생각하기

저번 글에서 직접증명이란, p->q를 보이고자 할 때 p와 q사이의 조건들 r1, r2, ...를 찾아서 그들을 연결시켜 증명을 하는 방법이라고 했습니다. 그러나 p와 q만 보고, 증명을 하기 위해 필요한 조건 r들을 곧바로 찾아내기란 아무리 수학을 잘하는 학생이라도 쉽지가 않습니다. 이 때 도움을 줄 수 있는 방법이 뒤에서부터도 한 번 생각해보는 방법입니다.

p에서 출발하여 갈 수 있는 길이 r1, r1’, r1’‘이 있다고 합시다. 세 경우 다 시도해봤지만 잘 풀리지 않는 경우에는 r1, r1’, r1’‘가지고만 씨름하지 말고, q를 보이기 위해 그에 바로 앞서 무엇을 보여야 하는지를 생각해보는 것이 좋습니다. rn이나 rn’, 혹은 rn’‘을 보이면 q를 보일 수 있다고 할 때, 이제 r1들과 rn들을 가지고서 풀이 방식을 생각하는 것입니다. 그렇게 생각하면 증명해야 하는 p와 q 사이의 거리가 가까워지는 효과가 되어 풀이를 찾는 것이 보다 더 수월해집니다.

뒤에서부터 생각하는 방법은 단지 증명하는 문제에서만 쓰이지 않습니다. 답을 구해야 하는, 예를 들어 어떠한 식의 값을 구해야 하는 문제에서도, 처음부터 시작해선 문제가 안 풀릴 땐 구해야 하는 식을 얻기 위해서 그 전 단계에 어떠한 식이 나와야 하는지 등을 생각하면 풀이가 떠오르는 경우가 많습니다.

뒤에서부터 생각하는 문제의 하나의 예를 들어 보면 다음과 같습니다.

2. 문제가 추상적일 때 예를 들어보기

수리논술 문제를 풀다 보면 문제나 제시문에 나와 있는 내용들이 너무 추상적이어서 어떻게 풀어야 할지 감조차 잡히지 않는 경우가 종종 있습니다. 그러한 경우, 그러한 추상적인 내용에 대한 구체적인 예를 들어 봄으로써 ‘아, 문제가 이걸 뜻하는 것이었구나.’라고 생각할 수 있습니다. 문제로 예를 들어 보자면

3. 제시문 또는 앞에서 푼 문제를 이용하기

문제를 풀 때, 특히 여러 개의 소문항이 있는 경우 그 문제의 전체적인 구조를 파악하는 것이 중요합니다. 예를 들어 어떤 한 문제의 소문항 (2)를 푼다고 할 때, 앞의 (1)에서 나온 결과를 이용해야지만 풀 수 있는 경우가 많습니다. 반면, (2)번이 (1)번과 전혀 상관없는, 별개의 문제인 경우도 있습니다. 앞의 경우를 점층구조, 뒤의 경우를 병렬구조라고 이름을 붙입시다. 어떤 문제는 (1)번부터 마지막 소문항까지 쭉 점층구조 혹은 병렬구조 하나로 이어지는 반면, 어떤 문제는 두 가지가 섞여있기도 합니다.

제시문의 경우에서도, 특히 제시문이 두 개 이상이 있는 경우엔 어느 내용을 몇 번 소문항에서 사용할지 파악하는 것이 중요합니다. 첫 번째와 두 번째 제시문이라고 해서 그것이 각각 (1)번과 (2)번에 차례대로 이용되리라는 보장도 없습니다. (1)번을 푸는 데 두 번째 제시문이, (3)번을 푸는 데 첫 번째 제시문이 사용될 수도 있는 것입니다. 즉, 각 번호에 대한 올바른 제시문을 이용해야지 제시문으로부터 문제를 푸는 아이디어를 잘 얻을 수 있습니다.

따라서 문제의 구조를 잘 파악하여, 어떤 소문항들이 독립적이고 어떤 것이 연관되어 있는지, 제시문의 내용을 어디에 사용할지 등을 계속 생각하면서 문제를 풀어나가야 합니다. 예를 들어 (2)번 문항을 (1)번 문항의 결과와 제시문을 동시에 사용해서 풀어야 하는데, 제시문만 가지고 생각을 하고 있으면 (2)번을 풀기가 어려울 것입니다. 반면 (1)번과 제시문 모두를 가지고 생각한 학생은 (2)번을 풀이 위한 아이디어를 얻는 데 큰 도움을 받을 것입니다.

두비두밥빠 · Accepted Answer

번학61 · Answer

칼럼 감사합니다.
인강으로만 준비하는 저에게는 오아시스 같은...

수리논술 문제해결 노하우 (2-2; 문제 해결의 아이디어 찾기)

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