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조오랑 [548221] · MS 2014 · 쪽지

2015-03-26 04:36:57
조회수 18,006

수리논술 문제해결 노하우 (2-1; Intro & 증명을 하는 방법들)

게시글 주소: https://orbi.kr/0005833974

안녕하세요! ‘논술전형 의대 합격수기 (1-3; 울산대 의학논술 & 수능 공부 경험)’을 마지막으로 저의 합격 수기는 끝이 났습니다. 이번에는 수리논술 학원 수업에서 배운 내용들을 토대로, 수리논술 문제들을 해결하는 전략과 노하우들을 정리해보려고 합니다.

 

그에 앞서 간단히 자기소개를 다시 하겠습니다. 작년 2학년까진 과학고를 다니면서 수시 과학인재전형을 준비해왔으나 조기졸업에 실패했고, 3학년에 남아서 논술과 수능을 준비했습니다. 열심히 준비한 결과 올해 수시에서 논술 전형으로 의대(연세대, 울산대, 고려대)에 합격하게 되었습니다. 자세한 과정이 궁금한 분들은 1월에 올린 논술전형 의대 합격수기(1-1~1-3)을 보시면 좋을 것 같습니다.

 

수능 시험의 경우 최저(1등급 3개)를 겨우 맞췄고, 제가 정시로 갔다면 수도권 의대가 어려운 점수이기 때문에 제가 수능 공부법이나 수능 문제를 푸는 요령 등에 대해서 할 말은 많지 않은 것 같습니다. 하지만 수리논술은 저의 강점이라 생각하고, 그만큼 할 얘기도 많기 때문에 논술을 생각하는 후배들에게 조금이라도 도움이 되고자 이렇게 ‘수리논술 문제해결 노하우’를 준비하게 되었습니다. 제가 들었던 수업에서 배운 내용들을 주로 바탕으로 해서, 거기에 저의 경험 등을 더해서 정리한 것입니다.

 

구성은 2-1부터 2-4까지로 정리했고, 각 파트의 내용은 다음과 같습니다.

2-1: Intro & 증명을 하는 방법들

2-2: 문제 해결의 아이디어 찾기

2-3: 문제를 풀어나가는 방법

2-4: 답안 작성에 대한 Tip

 

그럼 증명을 하는 방법 세 가지에 대해 알아보겠습니다.

 

1. 직접증명법

직접증명법은 증명에 있어서 가장 기본적으로 쓰이는 방법입니다. 명제 p->q가 참임을 증명하고자 할 때, p와 q사이의 징검다리 역할을 할 조건들을 찾아내고, 그 조건들을 연결시켜 삼단논법의 원리로 최종적으로 p->q가 참임을 보이는 방식입니다. 실제로 문제를 풀어보면서 설명하겠습니다. (수식입력이 불편해서 이미지로 대신할게요)

 

이렇듯, 직접증명은 여러 개의 조건들을 가지고 그들의 관계를 차례차례 밝혀나가면서 최종적인 결론에 도달하는 방법입니다. 이 때, 각각의 관계를 밝히는 데에는 기존에 있는 각종 정리, 정의 등을 사용할 수 있습니다. 예를 들면, p1 and r1 -> r2 가 참임을 보이면서 도함수의 정의를 사용했고, r3 -> r4 가 참임을 보이면서 미분계수의 정의를 사용했습니다. 만약에 제시문이 주어져 있었다면, 이러한 관계를 보이는 데에 제시문에 나와 있는 내용을 사용할 수도 있는 것이지요.

 

지금까지 p1, p2,...은 설명을 위한 기호들이었고, 답안을 쓸 땐 그런 기호들은 생략하는 게 좋을 것 같습니다. 다만 논리의 흐름을 채점자가 알기 쉽게 잘 정리해서 써야겠지요. 예시 답안은 다음과 같습니다.


2. 간접증명법

간접증명법에는 크게 두 가지, 바로 대우증명법과 귀류법이 있습니다. 둘은 언뜻 보면 비슷하게 보일 수 있지만 따지고 보면 사실 큰 차이가 있습니다.

 

우선 대우증명법은 말 그대로 문제에서 p->q를 증명하라 했으면 p->q대신, 그와 동치인 대우명제 ~q->~p를 증명하는 방법입니다. 쉬운 예로는 다음과 같은 문제가 있습니다.

 

대우증명법은 ~q에서 시작하는 반면, 귀류법은 ‘p이고 ~q’에서 시작한다는 점에서 대우증명법과 차이가 있습니다. 즉, 대우증명법과는 달리 증명 과정에서 p가 참이라는 가정이 사용되는 것이지요.

귀류법은 p와 ~q를 가지고 최종적으로 모순을 이끌어내는 것이 목적입니다. 이 때 모순을 이끌어내는 방법에는 크게 두 가지가 있는데, 하나는 ~p를 이끌어내어 p가 참이라는 가정과 모순되게 하는 방법이고, 다른 하나는 ‘두 실수 a, b에 대해 a^2+b^2 < 0’과 같이 항상 거짓인 명제를 이끌어내는 방법입니다. 귀류법을 사용하여 증명을 하는 문제의 예로는 다음이 있습니다.

3. 수학적 귀납법

임의의 자연수 n에 대한 명제 p(n)을 증명하는 문제 중 거의 대부분은 수학적 귀납법을 쓴다고 해도 과언이 아닐 것입니다. 보통 수학적 귀납법이라고 하면 다음과 같은 것으로만 알고 있을 수 있습니다.

 

(1) p(1)이 성립함을 보인다.

(2) 임의의 자연수 k에 대해, p(k)가 성립한다고 가정하면 p(k+1)도 성립함을 보인다.

 

하지만 수학적 귀납법의 목적은 임의의 자연수 n에 대해 p(n)이 성립한다는 것을 보여주는 것이므로, 그러기 위해서 위의 (1), (2)와는 약간 다른 방법을 사용할 수도 있습니다. 변형된 수학적 귀납법의 몇 가지 예로는 다음이 있습니다.

 

(1) p(1), p(2), ... , p(a)가 성립함을 보인다.

(2) 임의의 자연수 k에 대해, p(k)가 성립한다고 가정하면 p(k+a)도 성립함을 보인다.

 

예를 들어 a=3인 경우, p(1), p(2), p(3)를 보인 후, p(k)가 성립하면 p(k+3)도 성립한다는 것을 보입니다. 그러면 p(1)에 의해 차례대로 p(4), p(7), ... 이 참이 되고, p(2)에 의해 차례대로 p(5), p(8), ... 이 참이 되고, p(3)에 의해 차례대로 p(6), p(9), ... 가 참이 되는 것입니다.

또 다른 예로는

 

(1) p(1), p(2), ... , p(a)가 성립함을 보인다.

(2) 임의의 자연수 k에 대해, p(k), p(k+1), ... , p(k+a-1)이 성립한다고 가정하면 p(k+a)도 성립함을 보인다.

 

예를 들어 a=2인 경우, p(1)과 p(2)를 보인 후, p(k), p(k+1)이 성립하면 p(k+2)도 성립한다는 것을 보입니다. 그러면 p(1)과 p(2)에 의해 p(3)가 참이고, p(2)와 p(3)에 의해 p(4)가 참이고, ... 와 같은 식으로 보일 수 있습니다.

 

어떤 종류의 수학적 귀납법을 사용해서 증명을 할지는 문제에서 주어진 조건들을 봐서 잘 판단해야겠습니다. 위에서 제시한 두 방법 말고도 여러 다양한 수학적 귀납법이 있을 수 있습니다. 예를 들어, 임의의 정수 z에 대한 명제 p(z)를 증명하고자 할 때,

(1) p(0), p(-1)을 증명하고,

(2) k가 음이 아닌 정수일 때 p(k)가 성립하면 p(k+1)이 성립하고

k가 음의 정수일 때 p(k)가 성립하면 p(k-1)이 성립함을 보이는 방법도 있을 수 있습니다.

 

때로는 문제가 증명하는 문제는 아니고 답을 구해야 하는 문제이지만, 풀이 과정에서 수학적 귀납법을 사용하여 어떤 명제를 증명하는 것이 좋은 경우도 있습니다.

이상은 증명을 하는 대표적인 세 가지 방법이었습니다. 이 외에도 비둘기집의 원리 등과 같은 다양한 증명 방법이 존재할 수 있지만, 수리논술에서 가장 많이 다루는 증명은 위의 세 가지라고 볼 수 있습니다.

다음 글에선 수리논술 문제를 풀 때 아이디어를 찾는 방법에 대해서 설명하겠습니다.

 

논술 관련해서 문제풀이, 공부방법 등에 대해 질문이 있으신 분은 부담 갖지 말고 쪽지 보내주세요~


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조오랑 [548221]

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