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오리톢 [902596] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2022-08-06 22:45:56
조회수 1,739

dim 6

게시글 주소: https://orbi.kr/00057884640

일반화된 푸앙카레 추측은 '모든 S^n과 homotopy equivalent한 simply connected closed n-manifold는 S^n과 homeomorphic 하다' 인데, 여기서 n = 3인 경우가 기존 푸앙카레 추측.


cobordism 이라는 manifold의 차원이 높을 수록 잘 먹히는 이론이 있는데, 여기서 나오는 주요 결과는 '모든 h-cobordism $(W;M_0,f_0,M_1,f_1)$ over simply connected closed n-manifold $M_0$에 대해서 $W$의 차원이 6 이상이면 trivial 하다' 라는 것 (h-cobordism theorem이라고 불림). 여기서 trivial 하다는 것은 $(M_0\times[0,1];M_0\times\{0\},M_0\times\{1\})\to (W;M_0,M_1)$ 로 가는 diffeomorphism이 있다는 말.


만약 $M$이 $S^n$과 homotopy equivalent한 simply connected closed $n$-manifold이고 $n$이 6이상이라고 한다면, $M$에 disjoint한 $D^n_i$ for $i = 0,1$를 잡고 그둘의 interior를 $M$에서 뺀 것, $M - (int(D_0^n)\coprod int(D^n_1))$, 를 $W$라고 쓰게 된다면, $M$은 boundary가 2개의 disjoint $S^{n-1}$로 이루어진 h-cobordism $(W,\partial D^n_0,\partial D^n_1)$이 됨. 그러면 h-cobordism theorem에 의해서 어떤 diffeomorphism $F:(\partial D^n_0\times[0,1],\partial D_0^n\times\{0\},\partial D_0^n\times\{1\})\to (W,\partial D_0^n,\partial D_1^n)$이 있음. 여기서 $k = 0,1$에 대해 $\partial D_0^n=\partial D_0^n\times\{k\}\to\partial D_1^n$를 $f_k$이라고 한다면, $\tilde{f}_k:D^n_0\to D^n_1$로 extend를 할 수 있음 (Alexander trick이라고 불리고 증명 한 줄임. 위키피디아에 나옴). 그러면 $F:\partial D^n_0\times[0,1]\to W$와 $\tilde{f}_k$로 인해서 homeomorphism $h:D^n_0\times\{0\}\cup_{i_0}\partial D^n_0\times[0,1]\cup_{i_1} D^n_0\times\{1\}\to M$을 정의할 수 있음. 여기서 $i_k:\partial D_0^n\times\{k\}\to\partial D_0^n\times [0,1]$ for $k =0,1$는 inclusion map들. 그러면 정의역은 $S^n$과 homeomorphic 하게 되기 때문에 6차원 이상에서 푸앙카레 추측이 해결 됨. 5차원에서는 s-cobordism 을 이용함. 그리고 차원이 내려갈 수록 삐그덕 되는데, 4차원에서는 바로 적용은 못하고 좀 바꿔서 적용 하고 3차원은 아예 다른 방식.


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오리톢 [902596]

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