H^s
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그니까 Teichmuller space를 Riemannian geometry의 관점으로 보는 것에서 잘 이해가 안가거나 좀 clear하지가 않은 점이 하나 있었는데, Teichmuller space에서 다뤄지는 object들은 정의상 기본적으로 C^\infty 들인데, "모종의 이유"로 C^\infty topology를 사용하지 않고 H^s topology를 이용하는데 (여기서 H^s는 Sobolev space) 같이 공부하는 분 말에 따르면 D_0^{s+1}이 M_{-1}^s에 free, proper하게는 act를 하지만, smooth 하게 act는 못하고, D_0가 M_{-1}에 free, smooth하게는 act를 하지만 proper하게는 act를 못하니, object는 C^\infty를 다루지만 topology는 H^s를 가져와서, free, proper, smooth action인 것을 모두 만족 시키는 것이다 라고 했는데, H^s topology를 가져온 시점에서 사실 저 3가지를 만족 시켜서 뭐를 하는 모습을 책에서 보이지는 않음. 저 3가지를 만족시키면 quotient manifold theorem을 쓰겠다는 의지인데, 책에서 그렇다고 저걸로 Teichmuller space가 H^s topology로 manifold다 라고 주장하지 않고, 다른 방식을 이용해서 증명을 함. 다만 대충 왜 그러는지 이유가 나오기는 하는데 Teichmuller space를 D_0-principal bundle로 보고 싶어서 그런다고 나오는데 그렇다고 H^s topology가 되게 crucial하게 쓰이냐 하면 잘 모르겠음.
그래도 최근 스터디에서는 내가 항상 궁금해했던 Harmonic map에 대한 것이 잠깐 나왔었는데, 책 자체에서는 Harmonic map을 이용해서 Teichmuller space가 lR^n의 open ball과 homeomorphic하다는 것을 Morse theortic한 argument를 이용해서 보이기 위해 소개를 했지만, surface를 hyperbolic 3-manifold로 보내는 map들의 homotopy class에서의 harmonic map들을 이용해서 degenerate end의 성질을 좀 포착하는 것을 예전부터 궁금해했기 때문에 그 기초를 아는데에 좋은 기회였음. harmonic map 자체는 Dirichlet energy의 local minimum들 전부를 통칭하기 때문에 딱 하나만 있는 것은 아니고, 하나의 map의 homotopy class에서도 여러개가 있을 수 있음. 다만 해당 map의 domain과 codomain에 해당하는 manifold가 같으면 unique하게 존재함. 내가 말한 surface를 3-mfd로 보내는 케이스는 그게 아닌데, 제대로 곰국을 본 것은 아니지만 degenerate end에서는 무한히 많은 harmonic map들이 있을거고 그것들이 end로 향하는 구조를 보일 것이 뻔함. 이거한 'end로 향하는 구조'는 harmonic map 뿐만 아니라 pleated surface나 simplicial hyperbolic surface 등으로도 비슷하게 성질을 표현할 수 있으며, 이러한 것들은 Minsky가 degenerate end를 갖는 mfd의 model을 만들 때 curve complex의 hierarchy를 이용하는 것이 자연스럽다고 생각하게 되는 이유.
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