infinite index
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그전에 infinite indexed subgroup of a surface group is free라를 팩트를 이용해서 지인이 무언가를 보였던 적이 있었는데 (아마 글도 썼던걸로 기억) 이거를 군론을 하는 사람한테 한번 말해본 적이 있었음. 알고 있을 줄 알았는데 모른다고 했던 것으로 기억함.
(바로 생각해볼 수 있는 2 mfd들의 covering 관계 빼고는) 뭐 별거 없어보이는데 꽤 신박한 응용 하나를 발견함: Canary의 covering theorem이라는 것이 있는데, topologically tame hyperbolic 3 manifold N이 cover하는 hyperbolic 3 manifold M은 어떤 것이 있는지 말해주는 정리로, 만약 N이 singly degenerate end가 있을 때, M이 infinite volume이라면 finite cover로 singly degenerate으로 restriction을 시켰을 때도 여전히 covering이 되는 성질을 갖고 있음 (finite volume일때도 뭐 있긴한데 중요성은 아직 잘 모르겠음). 아무튼 이걸 아는 상태에서 만약 M이 infinite volumed hyperbolic 3 mfd without cusps이고 pi_1이 surface group이라고 한다면, 임의의 finitely generated infinite indexed subgroup에 대응되는 covering은 geometrically finite이고 위의 팩트 때문에 Schottky group이라는 것을 알 수 있음.
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