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어둠의수학자 [1020913] · MS 2020 · 쪽지

2021-05-15 01:07:46
조회수 6,227

수열이 두 종류 이상 나올 때 행동강령

게시글 주소: https://orbi.kr/00037608013

둘 중에 간단한 수열(일반항을 구하기 용이한 수열)을 an이라 하고 복잡한 수열을 bn이라 할 때,

bn = f(an) 꼴로 식을 작성해야지 an = f(bn) 꼴로 식을 작성하면 안됩니다. an = f(bn) 꼴로 식을 서술하게 됐을 때 발생하는 문제는 복잡한 bn을 구하기 위해 다시 간단한 an으로 돌아가야한다는 것입니다. 즉, an을 구하기 위해선 bn을 알아야되는데 bn을 구하기 위해서는 다시 an을 알아야하는 불상사가 발생한다는 것이죠.(뭐지... 분석명제인가...?)

반면에 bn = f(an) 꼴로 식을 서술하게 되면 an만 구하면 f(an)을 바로 구해낼 수 있어 직선적인 사고가 가능합니다.

18학년도 6월 문제를 봅시다.


제일 best 풀이는 an이 등차수열이기 때문에 둘 중 간단한 수열은 an이 된다는 걸 인지하고, 어떻게 하면 bn을 an에 관해서 표현할 수 있을까 고민하던 중 bn = bn-1 + f(n)꼴을 보고 축차대입을 떠올리는 풀이입니다.

제일 worst 풀이는 등식에 an은 한개가 있고 bn은 두개가 있으니 역수열도 배웠겠다 an에 대해 정리한 다음 나중에 an이 등차수열이라는 조건을 활용해야겠다고 원대한 계획을 세운 뒤 쭉 나열을 해봤는데 도무지 등차수열이라는 조건을 활용할 수가 없어서 결국 앞에서 말한 an bn 왔다갔다 하면서 대입하기를 반복하는 풀이입니다.

무지성 풀이는 그냥 식 보고 바로 대입... 근데 이게 an에 대해 정리하는 것보다 훨씬 잘 풀립니다. 어정쩡하게 아느니 모르는 게 낫다는 말이 여기에 적용될 수 있겠네요.

 

다음은 18학년도 9월입니다.

왼쪽 식을 보시면 an은 그 자체로 완성된 식이고, 일반항은 구할 수 없지만 대입해서 계산하기엔 깔끔한 식입니다. 반면 오른쪽 식의 bn은 an이 포함돼 있어 계산하기 까다롭습니다. 6월과 놀라울 정도로 유사한 문제인데, 이 경우에도 an = bn + bn+1 -n 으로 정리하면 계산량이 처참해집니다. 결국엔 bn = 어쩌구 꼴로 정리해야되는데 이 경우엔 아까와 달리 축차대입이 안됩니다.

그래서 첫번째 풀이는 그냥 대입입니다. b20에서 출발해서 내려가는 거니까 bn = an + n - bn+1로 정리하시면 될 것 같네요.

Worst 풀이는 방금 말했듯이, an = bn + bn+1 -n으로 정리하고 왔다갔다 하는 풀이입니다.

그리고 이건 좀 테크니컬 해서 best 풀이라고 하기엔 뭐한데,
bn + bn+1 = an + n에다 n대신 n-1을 대입해서
bn-1 + bn = an-1 + n-1(n은 2부터)을 만들어 주신 뒤,
위 식에서 아래 식을 빼면 두칸 차이로 축차대입을 할 수 있습니다. 나올지는 모르겠지만 그냥 기억해두시면 나쁘지는 않을 듯.


수열 뿐만 아니라 대체로 조건이 많은 문제들에서 항상 적용되는 논리입니다.(해집합이 작은 조건으로 출발해야 케이스가 더 적게 나온다.)

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어둠의수학자 [1020913]

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