어둠의 소거 미분법 대공개
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x절편에서 미분계수를 구하는 방법입니다.
예제1) f(x) = cosx × sin(e^x) × ln(x^2 + 3x)일 때, f'(pi/2)을 구하시오.
암산으로 풀면 -sin(e^pi/2)×ln((pi/2)^2 + 3pi/2)가 됩니다. 방법은 다음과 같습니다.
1st. f(pi/2) = 0입니다. 왜냐하면 cos pi/2가 0이기 때문입니다. 즉, cosx는 x = pi/2 근방에서 f(x)의 인수입니다.
2nd. 인수인 cosx를 g(x)라 두고 나머지 부분을 h(x)라 둡니다. 따라서 f' = g'h + gh'가 됩니다. 그런데 g(x)는 pi/2에서 0이 되기 때문에 f'(pi/2) = g'(pi/2)h(pi/2)가 됩니다.
자 이제 증명을 마쳤으니 결과를 외워봅시다. f(a) = 0일 때, f'(a)는 f(a)가 0이 되게 해주는 인수만 미분하고 나머지 부분은 그대로 놔둔 뒤 a를 대입하여 구할 수 있다. 인수는 아무거나 잡아도 상관없습니다. 가령 위 예제에서 g(x) = cosx로 잡든 g(x) = 2cosx로 잡든 혹은 좀 싸이코 같이 g(x) = cosx × (x-1)로 잡아도 결과는 동일합니다.
원래는 y = (x-a)(x-b)(x-c)꼴에서 x=a에서 미분계수를 구할 때 자주 사용되던 방법이지만, 식이 조금이라도 변하면 혼란을 줄 수 있기 때문에 완전히 일반화했습니다. 임의의 인수를 기준으로 잡고 풀어도 결과는 똑같다는 거죠.
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