문과인데요, 좌미분계수 우미분계수 일반적으로 사용해도 되나요?

Question

제가 이걸로 세번째 글을 올렸는데요. 죄송하지만 답변들 많이 달아주셔서 감사한데 오히려 더 혼란스러워졌어요...

답변들 내용을 제 스스로 요약해보면

원함수가 미분가능하다고 해서 도함수가 연속이라는 보장은 없다. (반례: 사인뭐시기 함수)

그러니까 좌미분계수 우미분계수 (도함수의 좌극한 우극한 비교해서 같으면 미분가능하다고 판단하는 방법) 는

함부로 쓰면 안된다. 하지만 문과는 다항함수만 다루니까 써도 괜찮다.

라는거 같은데...저 아직도 이해가 잘안가요.

뭐라고 해야하지...

아무리 다항함수라고해도 구간마다 함수가 다르면

예를들어 사진의 있는것처럼

각 끊어진 구간이 연속인지 아닌지는 모르는거 잖아요. 좌미분계수 우미분계수를 쓰려면 미분가능하다는 전제를 깔고나서

쓰는건데 아예 미분가능성을 모르는 상황에서 판단이 가능한거에요?

그러니까 저 해설은 미분가능하다는 전제를 깔아준것도 아닌데 좌미분계수우미분계수를 써서 미분가능성을 판단했으니 틀린거 아니에요?

괜히 많은 정보를 알고나니까 이거 걸리는게 많아서 잘 쓰질 못하겠네요...사용하면 굉장히 편한데;;;

이미설전컴 · Accepted Answer

다항함수는 도함수가 무조건 연속이거든요,다항식으로 써있어도  구간마다 함수가다른건 다항함수라고 안해요.다항함수의 정의를 다시 확인해보세요

아기나라 · Answer

각 구간 내에서 다항함수기 때문에, 그 도함수도 역시 각 구간 내에서는 다항함수입니다.
구간에 따라 다르게 정의된 다항함수가 전 구간에서 미분가능하려면,
이미 각 구간내에서는 연속이고 미분이 가능하기 때문에,
구간의 경계값에서만 연속과 미분가능성만 따져주면 됩니다.
그래서 구간 경계값에서 우선 함수값을 구해서 연속인지 확인하고,
함수가 전 구간에서 연속이 된다면, 미분가능성은 미분계수의 정의를 사용하지 않고,
도함수의 좌극한값, 우극한값을 조사하여 같으면 미분이 가능하다고 말할 수 있습니다.
그 이유가 함수는 연속이지만 도함수가 불연속이여서 도함수의 극한값과 함수값이 다른 사인뭐시기 함수같은 경우가 없기 때문이죠

구간에 따라 정의된 함수가 "다항함수"이기 때문에 도함수의 극한값으로 미분계수를 구할 수 있는 거구요.
그렇다고 하여 "도함수의 좌극한"과 "좌미분계수"가 동일한 개념은 아니라는 점에 유의하세요.

아기나라 · Answer

좌미분계수란 미분계수의 정의(f'(a)) 중 좌극한 값(lim h->0으로 갈 때라면 -0을, lim x->a로 갈 때라면 a-0)을 의미하구요,
도함수의 좌극한이란 f'(x)를 구해놓고 lim x->a-0을 취하는 개념인데,
그 두 값이 반드시 일치하지는 않습니다.
그리고 도함수의 좌극한과 우극한값이 존재하지 않더라도, 미분계수는 존재하는 경우도 있구요.

문과인데요, 좌미분계수 우미분계수 일반적으로 사용해도 되나요?

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