미분가능하다는걸 확인하려면 어떻게 해야하죠?
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수학 A형 미통기 2014 예비평가 21번을 풀었는데요. (그 계단형 도형있는거)
제가 개념이 부족한 상태에서 그냥 집념과 의지로 풀어서 구멍이 많다는걸 느꼈어요.
특히 미분가능하다는 소리가 이해가 잘 안가서 한참을 고민했는데요.
미분가능하다는게 무슨 소리인지 알고 싶어요.
일단 제 생각을 말하자면
미분가능하다는건 연속과 극한보다 강하고 (도형으로 따지면 정사각형이 평행사변형이나 직사각형보다 파워가 쌘것처럼) 곡선이 둥근형태 (절댓값 x같은 직선형 도형은 안되고) 일 경우
미분가능하다고 알고 있어요. 이걸 수식으로 나타내면 평균변화율에다가 리밋을 취하고...어쩌구 해서 그 값을 구하는거구요.
그런데 제가 해설을 보다가 미분가능한걸 확인할때 도함수를 구하고 x=a에서 미분가능한걸 확인하기 위해 x=a에서의 극한을 구해 미분가능하다는걸 확인하는걸 봤어요.
이게 왜 그런지 이유가 알고 싶네요. 구간마다 함수가 다르다면 저렇게 도함수의 극한이 존재해야만 미분가능한건가요?
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미분가능: 1.연속이어야하고 2.우미분계수와 좌미분계수가 같아야합니다.
물론 님이말한 둥근형태...이런말도 맞는데요, 엄밀하게 말하면 이렇습니다.
제가 지금 궁금증을 느끼는게 그 도함수를 구하고 거기서 좌극한 우극한은 서로 같다 => 미분가능하다. 이게 우미분계수 좌미분계수가 같다는 그거죠??
아...이게 그래서 명칭이 우미분계수 좌미분계수인건가...(이걸 옛날에 생각없이 외워나서;;;)
미분계수의 정의로 구해야하는게 맞는건데, 사실 저도 그냥 도함수로 구해서 합니다.
우선 연속인지 아닌지 먼저 확인->연속이면 미분계수의 정의를 이용하셔서 미분계수의 좌극한(좌미분계수) 우미분계수 같은지 확인하시면 돼요
미분 정의 문제는 도함수 구하시는(프라임) 방식 위험해요
질문자님 여기에 따르시는게 맞는것 같습니다.
"도함수의 좌극한, 우극한" 개념과 "좌미분계수, 우미분계수"는 서로 다른 개념입니다.
미분가능성와 미분계수에 대한 좋은 글이 있어서 아래에 소개하겠습니다.
읽어보시고 참고하기 바랍니다.
일타삼피님의 미분계수의 정의 대해.
http://orbi.kr/bbs/board.php?bo_table=united&wr_id=3659249&page=2
수교과 학생님의 미분가능성에 대한 오개념 잡기
http://orbi.kr/bbs/board.php?bo_table=united&wr_id=3659704&page=2
코난샘님의 미분가능성에 대한 오개념 보태기~
http://orbi.kr/bbs/board.php?bo_table=united&wr_id=3660118&page=2
제가 읽어봤는데요. 이해가 잘 안가는데요. 좌미분계수와 우미분계수가 도함수의 좌극한 우극한 맞는거 아닌가요? 저기서 지적한게
원함수가 미분가능하다고 해서 도함수가 연속일거라는 보장이 없다. (반례가 있니) 그러니 미분계수=/=미분계수의극한값(즉 좌미분계수=우미분계수) 이 일반적이다. 라는말씀 아닌가요?
하지만 문과에서는 대부분이 다항함수이기때문에 쓰기에 큰 문제가 없다. 이게 결론이구요.
그러니까 좌미분계수,우미분계수를 찾는다는건 "x=a에서 도함수가 연속이다.' 라는 전제를 바탕으로 좌미분계수=우미분계수 (즉 x=a에서의 도함수의 극한값) 를 구하면 이것이 미분계수와는 같다는
(극한값과 함숫값이 일치한다는) 연속의 원리가 들어간다는게 내용아닌가요?
제가 잘 못 이해한건가요?
잘못 이해하신거에요.. ㅜㅜ 예를들어 y=3(x>0), y=-3(x<=0)에서 도함수의 우극한과 좌극한은 0으로 같지만 미분계수는 발산함으로 미분가능하지 않습니다 ㅜㅜ)
그리고
질문자님이 말씀하시는 문제는 다항함수라는 조건이 있어서 그래요. 다항함수면 기본적으로 연속이고 기형적인 그래프가 없고 그리고 결정적으로 미분이 가능하기 때문에요.
그니까 정리하면 (문과!) 문제유형이 두개있죠.
1. 단순히 함수 제시해서 미분 가능함?
->이럴 땐 정의 쓰시고
2. 다항함수 두개 있는데 미분가능함?
->두 그래프가 특정값에서 같은지,미분값이 같은지
를 확인하시면 될듯요
도함수가꼭 연속이란 보장이없어요 미분계수란 리미트를취하는 일종의 극한값일뿐.. 저는 한완수 심화특강(미분계수의 엄밀한논리?)에서 제대로 정리해둔것같네요
미분가능정의 : 좌미분계수와 우미분계수가 같다.
(즉,식세워서 극한값을 구한다.)
그림 : 꺽이지않고 Smooth한그림
1. 식이 주어지고 미분가능을 구하라.
-> 좌측식(a)=우측식(a) & 좌측식`(a)=우측식`(a) 을 계산.
2. 그림이 주어지고 미분가능을 구하라.
-> smooth한지 본다. 주로 접선에서 찾는것이 좋다
3. 그외, 식이 주어지지않거나 식이있으나 미분가능한함수인지 알수없는경우 미분가능을 구하라.
-> 식을세운후 미분계수 정의에따라 극한값을 계산한다.
이정도로 알고있읍니다.
연속 여부와 좌미분계수와 우미분계수가 일치해야 '미분 가능하다'라고 정의하고 있습니다
도함수의 연속과 원함수의 미분가능은 의미가 다릅니다.원함수가 미분가능하다 해도 도함수가 반드시 연속인 것은 아닙니다..
음;; 저는 미분불가능 할 때 도함수 연속을 생각해 본적이 없는지라 예시 한번만 들어주시면 안될까요