주예지T) 오늘도 한 계단, 미분가능성
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퍼포먼스 수학II 65번 독설해.pdf
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가형 20번(나형 21번) 문항은 반드시 한 번쯤 풀고 넘어가길 바랍니다.
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저번에는 ‘성적 상승은 미분가능하지 않다’는 내용으로 찾아왔었는데, 그 김에 진짜 미분가능성에 대한 이야기를 하려고 합니다. 가형, 나형을 가리지 않고 출제되는 주제인 만큼 수학II 문항으로 내용을 풀어나갈 것이지만 모든 수험생이 볼 수 있도록 작성하였습니다.
먼저 문항부터 보시죠!!
문항을 풀어봤을 거라 믿고, 미분가능성에 대해 짧막하게 이야기를 나눠보죠. 먼저 저희가 문제를 풀면서 가장 많이 사용하는 개념(정리)은 다음과 같습니다.
[Debut 수학II S#3 미분가능성과 연속성]
이때, 두 함수 g(x), h(x)가 미분가능한 함수이어야 한다는 것을 잊지 말아야 합니다.
참고로 g’(a)=h’(a)를 도함수가 연속이어서 성립한다고 받아들이는 분도 있는 것으로 아는데 두 함수 g(x), h(x)가 미분가능하다는 조건으로는 두 도함수 g’(x), h’(x)의 연속성을 보장할 수 없기 때문에 항상 옳지는 않습니다.
다만, 함수가 명확하게 주어지고, 다항함수와 같이 도함수가 연속함수라는 게 뻔히 보인다면 평균값 정리에 의해 성립하는 명제이므로 사용해도 무방합니다. (뻔히 보이지 않으면 안 쓰는 게 바람직하겠죠?)
복잡한 얘기는 뒤로하고, 미분가능성을 대하는 마인드셋을 갖추기 위해 위의 개념을 간단하게 한쪽만 증명해볼게요!!
이 증명이 미분가능성을 이해하는 첫걸음입니다. 왜 첫걸음인지는 뒤에서 말씀드리겠습니다.
이제 다음 스텝은 두 함수 g(x), h(x)가 미분가능하지 않은 순간이 있으면 어떻게 할 것인가를 생각하는 것입니다. 이 점에서 수학은 심플한 답을 제시합니다. 정리를 활용할 수 없다면 정의로 돌아가라고 말이죠.
다시 증명으로 돌아가면 다음과 같은 생각을 할 수 있습니다.
지금까지 글을 주의깊게 읽었다면 이미 알아차렸겠지만, 증명이 중요한 이유를 말씀드리자면 문제를 풀어나가는 과정 그 자체이기 때문입니다.
여기서 여러분이 알아두어야 할 게 있습니다. 정리를 활용할 때는 도함수에 값을 대입하여 미분계수를 구하지만, 정의를 활용할 때는 극한을 계산해야 합니다.
뭔가 갑자기 미개해지는 기분이 들 수 있는데, 정의를 활용하기로 마음먹으면 미분가능성 문제가 아니라 함수의 극한 문제가 되는 것입니다.
여러분(특히 이과 수험생)이 어려운 미분가능성 문제를 만난다면 정의를 활용하여 극한을 계산할 수 있는지를 물어보는 문제일 가능성이 높습니다. 올해 6평 가형 30번이 그랬듯 말이죠.
지금까지 학습한 내용을 바탕으로한 [ Performance 수학II 65번 ]에 대한 해설을 첨부하였습니다. 문제를 푸는 과정이 증명 과정과 거의 유사하다는 것을 직접 확인해보기를 바랍니다.
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선댓후경..
wa
다르부 함수가 수능에 나올 가능성이 있을까요?
Darboux's Function과 Darboux's IVT for derivative는 다르고, 수능에 출제되는 Derivative는 모두 Darboux's Function이니까 아마 질문하신 의도는 'Any derivative has IVP' 가 수능에 출제될 수 있는지를 여쭤보신 것 같아요!!
수능에 출제되는 대부분의 함수가 Darboux's IVT 를 만족시키니까요... 함수는 나올 수 있어도 Darboux's IVT 를 알아야만 풀 수 있는 문제는 당연히 안나올거에요!!
그냥 궁금해하실 필요도 없다는 말이에요...... 궁금하면 수학 전공하셔서 해석학 배우시면 금방 알 수 있어요!! 대학가서 배우는걸루 ㅎㅎ
감사합니다...! 도함수가 연속이면 원함수가 미분 가능하다의 반례로 어디서 주워들은 적이 있어서 여쭤봤어요ㅋㅋㅋ
도함수가 연속이면 도함수의 함숫값이 존재, 즉 미분계수가 존재하므로 원함수가 미분가능한게 맞아요!!
아마 원함수가 미분가능하면 도함수는 연속이라는 명제의 반례를 들으신거일거에요.
f(x)=x^2sin(1/x), x!=0 & 0, x=0 이 대표적인 예시인데 이 함수도 기억하실 필요가 없어서 이렇게 최대한 불친절하게 적어드려요.
ㅋㅋㅋㅋ감사합니닼ㅋㅋㅋㅁ..문과라 개형도 추론 못하게 생겼네요 저건
앜ㅋㅋㅋ 문과시면 아얘 신경쓰실필요가 없어요!! 다항함수의 미분만 다루기때문에 도함수가 연속인게 자명한 함수를 다루니까 편하게 다루셔도 됩니다!!
해설 강의 들을 때랑 칼럼 볼 때마다 느끼지만
문제풀이 방식이 정리되는 느낌이네요
다음 글을 적어야 할 이유가 하나 더 늘었네요. 도움이 되고 있다니 다행이네요. 감사합니다.
자료 감사합니다. 혹시 아주다랩 로고 폰트가 무엇인지 알 수 있을까요? 쓸데없는 질문이라 죄송합니다 ㅠ
제가 까먹어서.... 죄송해요 ㅠㅠ