[이동훈t] 6모 28번 분석 (+해설3개)

Question

2026 이동훈 기출  https://atom.ac/books/12829       본문 일부가 추가+교정 되었습니다.  아래는 이에 대한 자세한 설명   [이동훈t] 260628 - 이계도함수가 주어지면 반드시 두 번 미분? (추가 설명) https://orbi.kr/00073459467     안녕하세요.     이동훈 기출문제집의  이동훈 입니다.   오늘은 6 모 수학 미적분 28 번을  물고, 뜯고, 맛보는  시간을 가져보겠습니다.   우선 이 글에 첨부된 28 번 해설 PDF 를 다운로드 받아서  함 읽어보시구요.    ※ 아래의 컬럼은 풀이의 일부를 포함하고 있으므로 문제를 풀어서 맞힌 분들만 읽으시길 바랍니다. :)    해설지 PDF 에는 총 3개의 풀이와 3개의 참고가 수록되어 있습니다.    [풀이1] 산술적 풀이  (가)에서 주어진 항등식을 두 번 미분하여 2 개의 항등식을 더 찾고, 이 3 개의 항등식에 미정계수법을 적용한다.    [풀이2] 도함수의 연속성을 이용한 풀이  (가)에서 주어진 항등식을 한 번만 미분한 후, 함수 f ' (x) 의 연속성을 이용하여 푼다.    [풀이3] 함수의 그래프 + 평균값 정리(귀류법)  (가)에서 주어진 항등식을 한번만 미분한다.  곡선 y=(2x+1)/(x^2+x+5/2) 와 직선 y=a 의 위치 관계,  곡선 y=ln(x^2+x+5/2)와 직선 y=ax+b 의 위치 관계를   함께(동시에) 따진다.  이 과정에서  평균값 정리와 귀류법을 이용하여  곡선 y=ln(x^2+x+5/2) 의 왼쪽 변곡점에서의 접선이 직선 y=ax+b 임을 보인다.    [풀이1] 이  모범 답안으로 보이며,  [풀이2], [풀이3] 은 가능한 풀이(열어둔 풀이)가 아닌가 ... 합니다.   즉, ...   개인적으로는 [풀이1]이 [풀이2], [풀이3]에 우선한다고 생각하지만 ...  이와 다른 생각을 가진 분들도 있을 터인데 ...  각자 좋아하는 풀이를 좋아하는 것으로 합시다.   이 외의 다른 풀이도 있을 것 같은데 ...  아마도 위의 세 개의 풀이의 변주일 가능성이 높습니다.  물론 완전히 새로운 각도의 풀이도 있을 수 있겠죠. 그건 각자 찾아보도록 하고요 ...   문제 한 번 다시 읽어보시면 ...          이 문제를 읽고 나서 ...  240628(미적분) 이 떠오르지 않았다면  기출 연습이 덜 된 것이겠죠.    위의 붉은 칸의 좌변의   5차, 3차를 각각  5차 : 5차 이상의 방정식은 일반해를 구할 수 없다. (4차까지는 가능)  3차 : 양변을 두 번 미분해도 여전히 좌변을 f(x) 로 묶을 수 있다.   이게 바로 보인 수험생 있으실지 ...  이 두 차수에 대한 관찰은 어떻게 이 문제를 풀 것인지에 대한 직접적인 단서가 되기 때문에  매우 중요합니다.  자세한 설명은 조금 뒤에 할 것이구요.    240628(미적분)과의 공통점, 차이점을 알아보면 ...        공통점)  위의 두 문제의 붉은 칸에 들어간 항등식은  g(f(x)) = h(x)  로 주어진 음함수 구조라는 점에서 같습니다.   차이점)  260628 - f(x), g(x), h(x) 가 모두 단조 증가 240628 - f(x), g(x), h(x) 가 모두 극값을 갖는다.  260628 - f(x) 의 방정식을 유도할 수 없다. 240628 - f(x) 의 방정식을 유도할 수 있다.   음함수의 미분법에 대한 문제는 해가 되는 함수 (즉, 위의 두 문제의 경우 함수 f(x)) 의 방정식을 직접적으로 유도할 수 없어야 합니다.  이런 면에서 260628 가 240628 보다는 완성도가 좀 더 높아졌다고 볼 수 있구요.   다만 미적분 교과서에서는 음함수를 원을 도입하여 설명하고 있으므로 240628 은  교과서 본문에서 출제 근거를 찾을 수 있긴 합니다.   260628 에서  세 함수 f, g, h 를 모두 단조 증가로 준 것은.  240628 과 달리 260628 의 경우 함수 f(x) 의 방정식을 직접적으로 유도할 수 없기 때문입니다.  함수의 방정식을  직접적으로 유도하기 힘들 때 ...  세 개의 함수 f, g, h 를 모두 단조 증가 또는 단조 감소로 주면   함수 f(x) 의 존재성을 쉽게 확보할 수 있습니다. (아래 그림)  이는 문제 만드는 사람들의 ... 테크닉 중의 하나이죠.   그렇게 하지 않으면 ...  특정 x 의 값에 대한 f '' (x) 의 존재성을 판단하기 힘들거나, 판단해야 하는 점의 개수가 많아 지니까요.  까닥 잘못하면 문항 오류 발생 가능성도 있고.   게다가 이 문제는  f ' (x)  가 미분가능해야 하므로 ...   세 개의 함수   f, g, h  가 매우 단순해야 합니다.       출제자의 관점에서 문제 풀이를 접근하는 수험생도 일부 있을 것이고 ...  5차 이상의 방정식은 일반 해가 없으므로 f(x) 의 방정식을 유도할 수 없고 ...  그렇다면  f(x) 의 존재성을 확보하기 위하여 f(x) 는 단조 증가 또는 단조 감소일 확률이 높을 것이다.  이때, g(f(x)), 즉 h(x) 는  단조 증가 또는 단조 감소이다.  따라서 직선 y=ax+b 는 곡선 y=ln(x^2+x+5/2) 의  변곡점에서의 접선일 가능성이 높다.   이 정도의 눈치는 ... 만점을 노리는 수험생이라면 필요하다고 봅니다.   그리고 초월함수의 근사 의 관점에서  아래와 같은 빠른 풀이도 가능합니다.     개인적으로 실전적인 풀이라고 생각하고요.  다만 (x-alpha)^3 과 같이  3 중근을 갖는지에 대해서는 산술적인 증명이 필요하겠지요. (그게 [풀이1] 이긴 합니다.)  산술적인 증명을 하지 않더라도 ...  3 중근이 아닐 가능성은 (문제 만드는 사람의 관점에서) 거의 없기 때문에 ...  위의 관점으로 접근해서 답이 나왔다면 오답일 가능성은 1 % 도 되지 않을 것입니다.     개인적으로는  " 내가 출제자라면 이 문제를 어떻게 만들었을까? "  라는 관점에서 우선 접근하기 때문에 ...   출제자가 종이 위에   그림 그림,  쓴 수식,  ...  등이 보이면   보폭이 다른 풀이가   가능합니다.    이 글에 첨부된 해설지 PDF 에는 처음부터 끝까지 논리적인 설명만 해두었으니 오해는 없길 바랍니다.  . . .  이제 [풀이1], [풀이2], [풀이3]을 차례대로 알아보겠습니다.  . . .   [풀이1] 산술적 풀이  (가)에서 주어진 항등식을 두 번 미분할 생각을 어떻게 하는가 ?  일단 아래의 기출을 보면 ...      위의 문제에서는 이계도함수가 연속이라는 조건까지 추가 되었지만.  사실 ' 이계도함수를 갖는다. ' 라는 조건에서 위의 기출이 바로 떠올랐어야 합니다.  왜냐하면 두 문제 모두 미분하여 만들어진 항등식(방정식)에서 미정계수 결정을 목표로 하고 있기 때문입니다.   이계도함수를 갖는다.  라는 조건이 주어지면  아래의 표를 생각할 수 있어야 하고 ...   (위의 표는 H200 번의 해설의 일부)   어떤 문제의 경우에는 (두 번 미분하지 않고) 위의 표의 일부 성질만을 간단하게 사용하지만.   260628, 170930 처럼 풀이 과정 상 필요하다면 이계도함수가 나오는 식까지 미분해야 합니다.  260628 는 두 번 미분하는 것이 가장 빠른 풀이이고, 170930 번은 두 번 미분해야만 풀립니다.   260628 번의 경우 아래의 이유로 두 번 미분하는 것이  자연스럽습니다.   (1) 조건 (가)에서 주어진 항등식을 두 번 미분하면 두 상수 a, b 를 모두 없앤 항등식을 유도할 수 있다.  (2) 조건 (가)에서 주어진 항등식을 두 번 미분해도 함수 f(x) 는 여전히 살아 남아서, 3 개의 항등식이 방정식 f(x) = 0 을 모두 포함한다.  (1)+(2):  (마지막 항등식에서) 방정식 f(x) = 0 에서 x 의 값을 구할 수 있고, a, b 의 순서대로 값을 결정할 수 있다.   이런 논리 구조를 따른다면.  이 문제는 그래프의 개형을 이용해서 (기하적으로) 풀어야 할 것 처럼 보이지만.  사실 처음부터 끝까지 산술적으로 풀면 됩니다.   아래는 PDF 해설의 [참고1]       붉은 칸에서 푸른 칸을 유도해야 하고.  푸른 칸을 보시면 아시겠지만 ...  고1 과정의 (해)집합의 포함관계, 연산에 대한 교과서 연습문제를 닮아 있습니다.   이 문제의 경우 ... 푸른 상자에서 어려운 판단을 요구하고 있지 않지만 ...  조만간 이 주제에서 상당히 까다로운 판단을 요구하는 문제가 출제될 것이라고 강하게 예상합니다.  제 칼럼 계속 읽으신 분들은 아시겠지만.  이 지점을 나는 작년부터 계속 강조하고 있죠 ...   그리고 ...  ㄱ 에서 ㄴ, ㄷ을 유도하는 과정은 다음의 증명 과정이기도 합니다.   두 곡선  y=ln(x^2+x+5/2)-(ax+b),  y=ln(x^2+x+5/2) 의 변곡점의 x 좌표는 일치한다.   이 문제의 풀이에서는 위의 성질이 직접적으로 사용되지는 않지만 위의 명제의 증명 과정이 풀이 과정과 겹치는 것은 그 만큼 중요하기 때문입니다.   수능 문제의 경우 ...  이처럼 두 가지 이상의 전형적인 풀이를 겹치게 해서 레이어를 쌓는 경우가 많은데.   평가의 관점에서도 의미가 있고 ...  예술성을 확보한다는 측면에서도 의미가 있습니다.   아래는 서로 수평화 관계에 있는 두 곡선의 변곡점의 x 좌표가 일치하는 주제를 다룬 (아마도 최초의) 대표 문제.        위의 문제는 워낙 중요해서 ...  풀이 과정과 결과를 함께  암기해두는 것이 필요합니다.  . . .   [풀이2] 도함수의 연속성을 이용한 풀이.  (가)에서 주어진 항등식을 한 번만 미분한 후, 함수 f ' (x) 의 연속성을 이용하여 푼다.  아래는 PDF 풀이의 일부.       이 정도의 풀이가 가능할 텐데요 ...  한 번 더 미분하면 f(x) = 0 의 해를 바로 구할 수 있는데 ...  꼭 이렇게 할 필요가 있을까 ?  이런 생각이 드는 것이 사실입니다.   물론 어떤 풀이를 택할 지는  개 취 존 중  . . .   [풀이3] 함수의 그래프 + 평균값 정리(귀류법)  난 그림으로 푸는게 좋다. 라는 분들의 풀이가 되겠습니다.  아래는 풀이 PDF 의 일부.     평균값 정리와 귀류법을 이용한 우아한 풀이입니다.  역시  개 취 존 중  . . .  6 모 관련해서는 두 개의 글을 더 준비 중입니다.   일정은 아래에서.  [이동훈t] (일정 안내) 6모: 문항 분석(+해설지), 실제 수험생 사례 분석 https://orbi.kr/00073392370   다음에 또 만나요 ~!      노베 기출 수학1+수학2+미적분 (PDF) https://docs.orbi.kr/docs/12978  노베 기출 수학1+수학2+확률과 통계 (PDF) https://docs.orbi.kr/docs/12979  2026 이동훈 기출 기하 PDF https://docs.orbi.kr/docs/13000/  고1 기출 평가원+교사경 (무료PDF)  https://orbi.kr/00070798256  학습법, 수학 칼럼 링크 모음 ('23~'24) https://orbi.kr/00066979648   2026 이동훈 기출 실물 책  https://atom.ac/books/12829  2026 이동훈 기출 e-book https://atom.ac/ebook/12888

이동훈t · Accepted Answer

260628, 170930에서 두 번 미분해야 하는 이유를 표로 정리하면 다음과 같습니다.

[이동훈t] 6모 28번 분석 (+해설3개)

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