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부삽 [471209] · MS 2013 · 쪽지

2016-02-27 03:00:42
조회수 3,997

술게임 안걸리는 법 증명 (feat.서울대숲)

게시글 주소: https://orbi.kr/0008059558

안녕하세요, 현직 자연대 학생입니다.

The Game of Death라는 게임을 아시나요?
손가락으로 사람을 짚다가 걸린 사람 마시는 게임입니다.
가끔 이상한 수를 불렀다가 본인이 마시게 되는 슬픈 일이 일어나기도 하죠.

일부 이공계 학생들에게는 전해져 내려오지만 증명이 제대로 되지 않았으며 문과생이나 신입생, 타대학에서 미팅을 하시는 분들은 알지 못하는 필승전략이 있습니다.

저는 오늘 이 자리에서 그것을 알려드리려고 합니다.

그것은 바로
“전체 사람 수보다 큰 소수를 부른다.”
입니다.

예를 들어 10명이 게임을 할 때는 11과 같은 수를, 5명이 게임을 할 때는 7과 같은 수를 부르는 것이죠.
이 방법을 사용하면 본인은 절대 마시지 않습니다.
(자연대에서는 이 꼼수를 쓰면 ‘겐세이’를 한 죄로 마시게 됩니다.)

아마 역사 속의 수학자들이 소수를 찾는 방법들을 연구하고 그들의 규칙을 파악하기 위해 일생을 바쳤던 것은 술을 마시고 싶지 않아하는 것에서 비롯된 것일지도 모릅니다.
(에라토스테네스가 좋아하는 랜덤게임! 아 무슨 게임! 게임 스타트!)

그럼 새내기 여러분 모두 파이팅......!

p.s. 글의 아래엔 필승전략의 증명을 첨부하겠습니다.
편의상 전개에 필요한 용어를 정의하고 보조정리를 증명한 뒤 본 명제를 증명하겠습니다.
증명엔 편의상 존댓말을 사용하지 않았습니다.
증명에 오류가 있는 부분엔 댓글로 코멘트를 달아주시기 바랍니다.
 

정의. k-cell
The Game of Death에서 k명이 서로를 지목하여 맞물려 돌아갈 때, 이를 k-cell이라고 정의하자. 예를 들어 철수가 영희를, 영희가 바둑이를, 바둑이가 철수를 지목하면 이는 3-cell이다. 이때, 자명하게 게임의 플레이어의 수를 n이라고 하면 1
보조정리1. n보다 큰 임의의 소수는 2,...,n과 모두 서로소이다.
증명 :
n보다 큰 적당한 소수 p가 존재하여 2,..,n중 하나 이상과 서로소가 아닌 것이 있다고 가정하자. 그러면 1보다 크거나 같고, n보다 작거나 같은 적당한 정수 m이 존재하여 p와 1이 아닌 공약수를 갖고 이를 k라고 하자. 그러면 당연히 k는 1보다 크고 n보다 작거나 같다. 그런데 p는 소수이므로 약수가 1과 자기 자신 뿐인데 k가 1보다 크므로 k=p이어야 한다. 이는 p가 n보다 크다는 가정에 모순이다. 따라서 n보다 큰 임의의 소수는 2,..,n과 모두 서로소이다.

보조정리2. The Game of Death에서 게임을 시작한 사람이 술을 마시게 되는 사건은 그가 외친 수 m에 대하여 적당한 m의 약수 k(>1)가 존재하고 게임을 시작한 사람을 포함한 k-cell이 존재하는 사건의 부분사건이다.
증명 :
게임을 시작한 사람이 술을 마시게 되었다는 말은 누군가가 본인을 찍었다는 뜻이다.
이를 역추적하게 되면 다시 본인이 나와야 하므로 적당한 정수 k(>1)에 대하여 본인이 k-cell에 들어간다는 것을 의미한다. 이때 이 k-cell이 적당히 돌아가 m이 되었을 때 본인이 마셔야 하므로 k는 m의 약수이다.

보조정리3. 두 사건 A, B에 대하여 A가 B의 부분사건이면 B의 여사건은 A의 여사건의 부분사건이다.
증명 :
A가 B의 부분집합이면 B의 여집합은 A의 여집합의 부분집합.

 이제 본 명제를 증명해보자. 즉, 우리는 다음 질문의 답변을 원한다.
‘언제 게임을 시작한 플레이어가 술을 마시지 않을 수 있을까?’

 이 궁금증을 해결하기 위해 정 반대의 상황을 생각하자.
‘언제 게임을 시작한 플레이어가 술을 마시게 될 것인가?’

 만약 게임을 시작한 플레이어가 마지막에 술을 마신다면, 보조정리2에 의해 적당한 정수 k(>1)가 존재하여 게임을 시작한 사람을 포함하는 k-cell이 존재한다는 뜻이다.
 그러면 보조정리3에 의해 게임을 시작한 플레이어가 외친 숫자가 k-cell을 만들 수 없는 수였다면 그는 술을 마시지 않아도 된다는 것을 알 수 있다.

 이때, 게임을 시작하는 플레이어는 만들어질 k-cell을 예측할 수 없으므로 임의의 k에 대해 본인이 k-cell에 들어가지 않을만한 수를 외쳐야 한다.
 
 그런데 보조정리1에서 n보다 큰 소수는 2,...,n과 서로소라고 하였으므로 게임을 시작한 플레이어가 n보다 큰 적당한 소수 p를 외친다면 어떤 k-cell이 생기더라도 본인은 절대 그 k-cell에 들어가지 않는다.

 따라서 게임을 시작한 플레이어가 n보다 큰 적당한 소수 p를 외친다면 그는 술을 마시지 않는다는 것을 알 수 있다.

 증명완료.

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